静電界50【電験3種理論】空気コンデンサに固体誘電体・導体を挿入したときの電位と容量の誤りは？平成24年 A問題2 完全解説

2026年7月11日2026年7月20日

今回は平成24年度理論科目 A問題2を解説します。電圧V₀を一定に保った空気コンデンサのP-Q間に固体誘電体（ε₁＞ε₀）を挿入したときの電位や静電容量の変化について、記述(1)〜(5)から誤っているものを選ぶ問題です。

固体誘電体を入れた場合は、自由界面電荷がないため各層の電束密度Dが共通となり、空気部の電界が挿入前より強くなります。一方、導体に変えた場合は導体内部の電界が0となり、P-Q間は等電位です。いずれの場合も位置Pの電位は挿入前より低下するため、「上昇する」とした(4)が誤りです。

平成24年度理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目静電界平成24年度 A問題2 問題文 — 平成24年度理論科目 A問題2 問題文

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成24年度 A問題2

　極板A-B間が誘電率ε₀〔F/m〕の空気で満たされている平行平板コンデンサの空気ギャップ長をd〔m〕、静電容量をC₀〔F〕とし、極板間の直流電圧をV₀〔V〕とする。極板と同じ形状と面積を持ち、厚さがd/4〔m〕、誘電率ε₁〔F/m〕の固体誘電体（ε₁＞ε₀）を図に示す位置P-Q間に極板と平行に挿入すると、コンデンサ内の電位分布は変化し、静電容量はC₁〔F〕に変化した。このとき、誤っているものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、空気の誘電率をε₀、コンデンサの端効果は無視できるものとし、直流電圧V₀〔V〕は一定とする。

(1) 位置Pの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも低下する。
(2) 位置Qの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも上昇する。
(3) 静電容量C₁〔F〕は、C₀〔F〕よりも大きくなる。
(4) 固体誘電体を導体に変えた場合、位置Pの電位は固体誘電体又は導体を挿入する前の値よりも上昇する。
(5) 固体誘電体を導体に変えた場合の静電容量C₂〔F〕は、C₀〔F〕よりも大きくなる。

出題のポイント：P・Qの初期電位と挿入後の傾きを比べる

左極板AがV0、右極板Bが0Vの平行板コンデンサでPとQの位置および挿入前後の電位分布を示す図 — 挿入前はP＝3V₀/4、Q＝V₀/2です。誘電体では傾きが変わり、導体ではP-Q間が等電位になります。

左極板AはV₀、右極板Bは0 Vです。挿入前は電位が直線的に下がるので、Pは3V₀/4、QはV₀/2です。有限の誘電体を入れた場合は、自由界面電荷がないため空気層と誘電体層でDが共通となり、電位は連続したまま傾きが変わります。導体に置き換えた場合は、導体内部のEが0となり、P-Q間の電位は一定です。

ポイント解説：誘電体はD共通、導体はE＝0で分けて考える

固体誘電体挿入時と導体挿入時を分けて電界・電位・静電容量を計算する比較図 — 誘電体ではDを共通として計算し、導体では内部E＝0として空気ギャップ3d/4を使います。

固体誘電体を挿入した場合、自由界面電荷がなく端効果を無視する本問では、空気層と誘電体層の法線方向の電束密度Dが共通です。したがってE＝D/εより、空気部では電位の傾きが急、誘電体部では緩やかになります。導体に置き換えた場合は別に考え、導体内部のE＝0、すなわちP-Q間の電圧降下が0となります。

挿入前のP、Qの電位を基準にして、誘電体挿入後のV_P・V_QとC₁、導体挿入後のV_PとC₂を順に比較します。電位は境界P、Qで連続し、層ごとに傾きだけが変わります。

問題の解説：導体挿入後のPは2V₀/3へ低下する

平成24年度理論A問題2の五つの記述を判定し誤りが選択肢4であることを示す解答図 — 導体挿入後のPは2V₀/3で、挿入前の3V₀/4より低下するため、誤りは(4)です。

STEP1　（1）（2）電位の変化を確認する

挿入前の電界はE₀＝V₀/dなので、V_P0＝3V₀/4、V_Q0＝V₀/2です。誘電体挿入後は、$$D=\frac{V_0}{\frac{3d}{4\varepsilon_0}+\frac{d}{4\varepsilon_1}}=\frac{4\varepsilon_0\varepsilon_1V_0}{d(3\varepsilon_1+\varepsilon_0)}$$となります。したがって、$$V_P=\frac{(2\varepsilon_1+\varepsilon_0)V_0}{3\varepsilon_1+\varepsilon_0}\lt \frac{3V_0}{4},\qquad V_Q=\frac{2\varepsilon_1V_0}{3\varepsilon_1+\varepsilon_0}\gt \frac{V_0}{2}$$です。よって、Pは低下する(1)、Qは上昇する(2)のどちらも正しい記述です。

STEP2　（3）（5）静電容量を確認する

極板面積をSとすると、挿入前はC₀＝ε₀S/dです。誘電体挿入後は、$$C_1=\frac{S}{\frac{3d}{4\varepsilon_0}+\frac{d}{4\varepsilon_1}}=C_0\frac{4\varepsilon_1}{3\varepsilon_1+\varepsilon_0}\gt C_0$$となるので(3)は正しい記述です。導体に置き換えると、電圧が降下する空気層の合計厚さは3d/4です。したがって、$$C_2=\frac{\varepsilon_0S}{3d/4}=\frac{4}{3}C_0\gt C_0$$となり、(5)も正しい記述です。

STEP3　（4）が誤りである理由

導体に変えると、導体内部のEは0で、P-Q間は等電位です。電圧が降下する空気層の合計厚さは3d/4なので、空気中の電界はE＝4V₀/(3d)です。AからPまでの距離はd/4であるため、$$V_P=V_Q=V_0-\frac{4V_0}{3d}\cdot\frac{d}{4}=\frac{2V_0}{3}$$となります。これは挿入前のV_P0＝3V₀/4より低いので、「上昇する」とした(4)が誤りです。

答え：(4)（導体挿入でも位置Pの電位は低下する）

💡 覚え方
有限の誘電体層では自由界面電荷がなければDが共通、導体では内部E＝0です。導体挿入時はP-Q間が等電位2V₀/3となり、Pは挿入前の3V₀/4より低下します。

⚠️ よくある間違い
誘電体と導体を同じD一定の層として扱わないこと。導体内部はE＝0で、P-Q間に電位差はありません。また、2V₀/3は3V₀/4より小さいため、Pの電位は上昇ではなく低下です。

まとめ

(1) 誘電体後のP	3V₀/4より低下：正しい
(2) 誘電体後のQ	V₀/2より上昇：正しい
(3) C₁	C₁/C₀＝4ε₁/(3ε₁＋ε₀)＞1：正しい
(4) 導体後のP	2V₀/3へ低下：「上昇」は誤り
(5) C₂	C₂＝4C₀/3：正しい
答え	(4)