静電界49【電験3種 理論】帯電した2個のコンデンサを同極性・逆極性で並列接続｜平成24年 A問題1

今回は平成24年度 理論科目 A問題1を解説します。初期電荷を蓄えた2つのコンデンサC₁（4μF・2μC）とC₂（2μF・4μC）をスイッチで接続したとき、図1（同極性）と図2（逆極性）でのC₁の端子電圧の比|V₁/V₂|を求める問題です。

スイッチを閉じると2つのコンデンサは並列になり、上側に接続される極板と配線からなる導体群の正味電荷が保存されます。図1では上側電荷が＋2＋4＝＋6μC、図2では＋2−4＝−2μCです。共通電圧をV＝V_top−V_bottomと定義すると、V＝（上側導体群の保存電荷）/（合成容量6μF）で求められます。

平成24年度 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成24年度 A問題1

　図1及び図2のように、静電容量がそれぞれ4〔μF〕と2〔μF〕のコンデンサC₁及びC₂、スイッチS₁及びS₂からなる回路がある。コンデンサC₁とC₂には、それぞれ2〔μC〕と4〔μC〕の電荷が図のような極性で蓄えられている。

この状態から両図ともスイッチS₁及びS₂を閉じたとき、図1のコンデンサC₁の端子電圧をV₁〔V〕、図2のコンデンサC₁の端子電圧をV₂〔V〕とすると、電圧比|V₁/V₂|の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1/3　（2）1　（3）3　（4）6　（5）9

出題のポイント：接続ノードの符号付き電荷を保存する

S₁・S₂を閉じると、C₁とC₂は同じ二つのノードを共有する並列接続になります。外部へ電荷が逃げないため、上側に接続される極板と配線からなる導体群の正味電荷を符号付きで保存します。図1は＋2＋4＝＋6 μC、図2は＋2−4＝−2 μCです。合成容量は両図とも6 μFなので、V₁＝1 V、V₂＝−1/3 V、したがって|V₁/V₂|＝3です。

ポイント解説：上側導体群の電荷保存から共通電圧を求める

スイッチS₁・S₂を閉じると、C₁とC₂は同じ上側ノードと下側ノードを共有する並列接続になります。外部へ電荷が移動する経路はないため、上側の極板と配線からなる導体群の符号付き正味電荷が保存されます。下側導体群には、その反対符号の電荷が保存されます。

共通電圧をV＝V_top−V_bottomとすると、接続後の上側電荷はC₁V＋C₂V＝(C₁＋C₂)Vです。したがって、V＝Q_top/(C₁＋C₂)となります。Q_topは極板の初期極性を反映して符号付きで合計します。

問題の解説：V₁＝1 V、V₂＝−1/3 Vから比3を得る

STEP1　図1（同極性）の電圧V₁

図1では、上側導体群の初期電荷は＋2＋4＝＋6μCです。並列合成容量は4＋2＝6μFなので、$$V_1=\frac{+6\,\mu\mathrm{C}}{6\,\mu\mathrm{F}}=+1\;[\mathrm{V}]$$となります。

STEP2　図2（逆極性）の電圧V₂

図2ではC₂の上側極板が負なので、上側導体群の初期電荷は＋2−4＝−2μCです。したがって、$$V_2=\frac{-2\,\mu\mathrm{C}}{6\,\mu\mathrm{F}}=-\frac13\;[\mathrm{V}]$$となります。負号は接続後の上側ノードが下側ノードより低電位となり、C₁の最終極性が初期状態から反転することを示します。

STEP3　電圧比を求める

問題では電圧比の絶対値を求めるため、V₂の負号は絶対値を取る段階で外れます。$$\left|\frac{V_1}{V_2}\right|=\left|\frac{1}{-1/3}\right|=3$$したがって(3)です。

答え：(3)（|V_1/V_2|＝3）

まとめ

合成容量	C1＋C2＝6μF
図1の上側保存電荷	＋2＋4＝＋6μC → V1＝＋1V
図2の上側保存電荷	＋2−4＝−2μC → V2＝−1/3V
電圧比／答え	|V1/V2|＝3、答え(3)

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