静電界45【電験3種理論】鉛直線上の2点電荷に働くクーロン力・重力とエネルギー保存！平成26年 B問題17 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成26年度 B問題17 電気力と重力がつり合う！小球はどこまで上がる？

今回は平成26年度理論科目 B問題17を解説します。鉛直線上に固定した物体A（+q_A）の真下に物体B（−q_B）を置き、（a）重力下でBを放したときにBが上昇を始める条件、（b）無重力でBを下向きに放ったときに途中で上昇に転じる条件を求める問題です。

AとBは異符号なので引力（B は上向きに引かれる）です。（a）は引力＞重力の条件、（b）はエネルギー保存で、初速の運動エネルギーが引力の位置エネルギー差より小さければ途中で引き戻されます。

平成26年度理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、平成26年度に実際に出題された問題文と選択肢を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成26年度 B問題17 問題文 — 平成26年度理論科目 B問題17 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成26年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題17

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成26年度 B問題17

　図のように、真空中において二つの小さな物体A、Bが距離r〔m〕を隔てて鉛直線上に置かれている。Aは固定されており、Aの真下にBがある。物体A、Bはそれぞれ、質量m_A〔kg〕、m_B〔kg〕をもち、電荷+q_A〔C〕、−q_B〔C〕を帯びている。q_A＞0、q_B＞0とし、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、小問(a)においては重力加速度g〔m/s²〕の重力を、小問(b)においては無重力を、それぞれ仮定する。物体A、Bの間の万有引力は無視する。

（a）重力加速度g〔m/s²〕の重力のもとでBを初速度零で放ったとき、BはAに近づくように上昇を始めた。このときの条件を表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）q_Aq_B/(4πε₀r²)＞m_Bg　（2）q_Aq_B/(4πε₀r)＞m_Bg　（3）q_Aq_B/(4πr)＞m_Bg　（4）q_Aq_B/(2πε₀r²)＞m_Bg　（5）q_Aq_B/(2πε₀r)＞m_Bg

（b）無重力のもとでBを下向きの初速度v_B〔m/s〕で放ったとき、Bは下降を始めたが、途中で速度の向きが変わり上昇に転じた。このときの条件を表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）½m_Bv_B²＜q_Aq_B/(4πε₀r²)　（2）½m_Bv_B²＜q_Aq_B/(4πε₀r)　（3）m_Bv_B＜q_Aq_B/(4πε₀r²)　（4）m_Bv_B＜q_Aq_B/(4πε₀r)　（5）½m_Bv_B＜q_Aq_B/(4πε₀r²)

鉛直線上に固定された正電荷Aと、その真下にある負電荷Bの配置図 — 図　鉛直線上に固定された物体A（+q_A）と真下の物体B（−q_B）（問題図）

出題のポイント：計算せずに「式の形」だけで選ぶ問題

この問題は数値がひとつも出てきません。答えは5つの式から選ぶだけです。だからこそ次元（単位）を見るだけで、ほとんどの選択肢が消せます。

クーロン力とクーロンの位置エネルギー

$$F=\frac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\;\mathrm{[N]}\qquad U=-\frac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r}\;\mathrm{[J]}$$

※分母が $r^2$ なら力〔N〕、$r$ なら仕事・エネルギー〔J〕。この1点で選択肢が分けられます（$U$ の符号は異符号電荷なので負）。

固定された正電荷Aと真下の負電荷Bに働くクーロン引力と重力の方向 — （a）は上向きのクーロン引力と下向きの重力を比較します。

(a) の解説：上向きの引力が下向きの重力に勝てばよい

Aは $+q_A$、Bは $-q_B$ で異符号なので引力。AはBの真上にあるので、Bには上向きのクーロン力と下向きの重力が働きます。

Bに働く力	向き	大きさ
クーロン力（引力）	上向き	$\dfrac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
重力	下向き	$m_Bg$

Bが上昇を始めるのは、上向きの力が下向きの力を上回るときです。

$$\frac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r^2}>m_Bg$$

❶ 力の不等式
これがそのまま答え

「初速度零で放った」という条件が効いています。初速がないので、その瞬間の力の向きだけで、動き出す向きが決まります。

クーロン力の比較と負の全エネルギーによる折り返し条件の解説図 — （a）は力の大小、（b）は全エネルギーが負になるかで判定します。

答え(a) $\dfrac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r^2}>m_Bg$　→　選択肢(1)

次元でふるいにかける

右辺の $m_Bg$ は力〔N〕です。左辺も力でなければ等式・不等式として成立しません。

選択肢	左辺	次元	判定
(1)	$q_Aq_B/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$	〔N〕	◎ 力の次元
(2)	$q_Aq_B/(4\pi\varepsilon_0 r)$	〔J〕	× エネルギーの次元
(3)	$q_Aq_B/(4\pi r)$	—	× $\varepsilon_0$ がない
(4)	$q_Aq_B/(2\pi\varepsilon_0 r^2)$	〔N〕	× 次元は合うが係数が2倍
(5)	$q_Aq_B/(2\pi\varepsilon_0 r)$	〔J〕	× エネルギーの次元＋係数2倍

次元だけで(2)(3)(5)が脱落し、残るは(1)と(4)。あとはクーロンの法則の係数が $1/4\pi\varepsilon_0$ であることを思い出せば(1)に決まります。

💡 覚え方
$2\pi\varepsilon_0$ が分母に来るのは「無限長直線導体」の電界です。点電荷は必ず $4\pi\varepsilon_0$。$4\pi$ は球の表面積 $4\pi r^2$、$2\pi$ は円筒の側面積 $2\pi r l$ に由来します。形を思い浮かべれば取り違えません。

(b) の解説：エネルギー保存で「引き戻せるか」を判定する

無重力なので、働くのはクーロン引力だけ。Bを下向きに放つと、Aから遠ざかる＝引力に逆らって進むことになり、減速していきます。

途中で速度の向きが変わる＝どこかで速度がゼロになるということです。つまり初速の運動エネルギーが、無限遠まで逃げ切るのに必要な仕事より小さければよい。

$$U(r)=-\frac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

❷ 距離 $r$ での位置エネルギー
引力なので負

$$W_{\text{脱出}}=U(\infty)-U(r)=0-\left(-\frac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r}\right)=\frac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

❸ 無限遠まで離すのに必要な仕事
これが「脱出に必要なエネルギー」

$$\frac12 m_B v_B^2<\frac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

❹ 引き戻される条件
初期の運動エネルギーが足りなければ、必ずどこかで止まって戻る

これは打ち上げたロケットが地球に落ちてくるのと同じ理屈です。第二宇宙速度に達しなければ必ず戻ってくる——それを電荷に置き換えたものが本問です。

平成26年度理論B問題17の力とエネルギーによる解答手順 — （a）は選択肢(1)、（b）は選択肢(2)です。

答え(b) $\dfrac12 m_B v_B^2<\dfrac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r}$　→　選択肢(2)

(b) も次元だけで一発で決まる

左辺 $\frac12m_Bv_B^2$ は運動エネルギー〔J〕。右辺も〔J〕でなければなりません。

選択肢	左辺の次元	右辺の次元	判定
(1)	〔J〕	〔J/m〕＝〔N〕	× 右辺が力
(2)	〔J〕	〔J〕	◎ 両辺そろう
(3)	〔kg・m/s〕	〔N〕	× 左辺が運動量
(4)	〔kg・m/s〕	〔J〕	× 左辺が運動量
(5)	〔kg・m/s〕	〔N〕	× 両方おかしい

$\frac12mv$ は運動エネルギーではありません。$v$ の2乗が要ります。(5)はそこを突いた選択肢です。(3)(4)(5)は左辺が運動量の次元なので、右辺と釣り合いようがありません。

結果として、(b)は「両辺が〔J〕になる式はどれか」だけで正解にたどり着けます。物理的な議論を一切せずに答えが出る、次元解析の威力がよく分かる一問です。

(a)と(b)の違いを一言で

	(a)	(b)
重力	あり	なし（無重力）
初速	ゼロ	下向きに $v_B$
使う考え方	力のつり合い	エネルギー保存
分母の $r$ の次数	$r^2$	$r$
答え	(1)	(2)

「初速ゼロなら力の比較、初速ありならエネルギーの比較」——この使い分けは力学と共通です。初速があると「その瞬間の力の向き」だけでは行き先が決まらないので、エネルギーで考える必要があります。

⏱️ 本番での進め方
❶ まず引力か斥力かを確認する。$+q_A$ と $-q_B$ なので引力、Bは上向きに引かれる。ここを間違えると全部崩れる。
❷ 右辺の単位を見る。$m_Bg$ は〔N〕、$\frac12m_Bv_B^2$ は〔J〕。左辺の分母が $r^2$ か $r$ かで即断できる。
❸ 係数は $4\pi\varepsilon_0$。$2\pi\varepsilon_0$ は直線導体用。点電荷では使わない。
❹ 不等号の向きは日本語で確認。(a)は「上昇を始めた」→ 引力が勝つ→ 左辺＞右辺。(b)は「途中で戻った」→ 逃げ切れない→ 左辺＜右辺。

本問は計算力ではなく、式の意味を理解しているかを問う問題です。この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

まとめ

力の向き	異符号→引力（Bは上向き）
(a)上昇条件	q_Aq_B/(4πε₀r²)＞m_Bg …(1)
(b)エネルギー	½m_Bv_B²＜q_Aq_B/(4πε₀r)
(b)答え	(2)