静電界43【電験3種 理論】誘電体中に挿入した導体の電位を求める！平成26年 A問題1 完全解説

今回は平成26年度 理論科目 A問題1を解説します。比誘電率ε_r＝2の誘電体で満たされ、電圧V₀を加えた平行板コンデンサ（極板間距離d）に、厚さd/4の帯電していない導体を極板と平行に挿入したとき、その導体の電位を求める問題です。

静電平衡では導体内部の電界は0で、導体に電圧降下は生じません。また、挿入した導体は帯電していないため、上下の誘電体に現れる電束密度Dの大きさは等しくなります。両側は同じ誘電体なので電界Eも共通です。誘電体の合計厚さ3d/4にV₀がかかり、接地極板Bから厚さd/4だけ上がった導体の電位を求めます。

平成26年度 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成26年度 A問題1

　極板A−B間が比誘電率ε_r＝2の誘電体で満たされた平行平板コンデンサがある。極板間の距離はd〔m〕、極板間の直流電圧はV₀〔V〕である。極板と同じ形状と大きさをもち、厚さがd/4〔m〕の帯電していない導体を図に示す位置P−Q間に極板と平行に挿入したとき、導体の電位の値〔V〕として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

（1）V₀/8　（2）V₀/6　（3）V₀/4　（4）V₀/3　（5）V₀/2

出題のポイント：導体内はE＝0、誘電体の電圧降下は厚さに比例

静電平衡では導体内部の電界は0で、導体の電位は一様です。挿入した導体は帯電していないため、上下の誘電体中の電束密度Dは大きさが等しく、同じ誘電体なので電界Eも共通です。V₀は誘電体の合計厚さ3d/4だけにかかり、接地された極板Bから導体までのd/4ではV₀/3だけ電位が上がります。

ポイント解説：無帯電導体の両側で電束密度の大きさが等しい

上側と下側の誘電体部分は、中央の導体を共通電極とする直列コンデンサとみなせます。挿入した導体は帯電していないので、導体両面の誘導電荷は等量・異符号となり、上下の誘電体中の電束密度Dの大きさが等しくなります。静電平衡では導体内部の電界は0で、導体内の電圧降下は0です。

両側は同じ比誘電率ε_r＝2の誘電体なので、E＝D/(ε₀ε_r)は上下で同じです。電圧V₀は厚さd/2とd/4の誘電体だけにかかるため、電圧降下の比は2：1です。したがって上側は2V₀/3、下側はV₀/3となり、接地されたBを基準にした導体電位はV₀/3です。比誘電率は上下で共通なので最終結果から相殺されます。

問題の解説：下側の電圧降下から導体電位V₀/3を求める

STEP1　誘電体内の電界を求める

導体内ではE＝0です。上側（d/2）と下側（d/4）は同じ誘電体で、電束密度の大きさが等しいため電界も同じ値Eになります。したがって、$$V_0=E\left(\frac{d}{2}+\frac{d}{4}\right)=E\cdot\frac{3d}{4}\;\Rightarrow\;E=\frac{4V_0}{3d}$$

STEP2　導体の電位を求める

下側極板Bは接地されているので0 Vです。Bから導体下面Qまでの誘電体の厚さはd/4であり、導体内の電位は一様です。したがって導体の電位V_cは、$$V_c-0=E\cdot\frac{d}{4}=\frac{4V_0}{3d}\cdot\frac{d}{4}=\frac{V_0}{3}\;[\mathrm{V}]$$となります。

STEP3　答えを確認する

上側から確認しても、V₀−E×(d/2)＝V₀−2V₀/3＝V₀/3で一致します。したがって(4)です。

答え：(4)（V₀/3）

まとめ

有効厚さ	誘電体 d/2+d/4＝3d/4
誘電体内の電界	E＝4V0/(3d)
導体の電位	E×d/4＝V0/3
答え	(4)

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