静電界23【電験3種 理論】直列接続した誘電体入りコンデンサの比誘電率と合成容量！令和4年上期 B問題17 完全解説

今回は令和4年度上期 理論科目 B問題17を解説します。真空のコンデンサC₁と誘電体入りのC₂を直列接続し120Vを加えたとき、（a）C₂の比誘電率ε_r、（b）合成静電容量を求める計算問題です。C₁の板面積はC₂の2倍、C₁の電圧は80Vです。

直列では両コンデンサの電荷が等しいので、C₁V₁＝C₂V₂から容量比が分かります。これと平行平板の公式（面積・誘電率）を組み合わせてε_rを求め、直列合成でC全体を計算します。

令和4年度上期 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和4年度上期 B問題17

　図のように直列に接続された二つの平行平板コンデンサに120Vの電圧が加わっている。コンデンサC₁の金属板間は真空であり、コンデンサC₂の金属板間には比誘電率ε_rの誘電体が挿入されている。コンデンサC₁、C₂の金属板間の距離は等しく、C₁の金属板の面積はC₂の2倍である。このとき、コンデンサC₁の両端の電圧が80Vであった。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

（a）コンデンサC₂の誘電体の比誘電率ε_rの値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1　（2）2　（3）3　（4）4　（5）5

（b）C₁の静電容量が30μFのとき、C₁とC₂の合成容量の値〔μF〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）10　（2）20　（3）30　（4）40　（5）50

出題のポイント：直列は電荷共通・電圧は逆比

直列接続では両コンデンサの電荷の大きさが等しく、C₁V₁＝C₂V₂が成り立ちます。したがって電圧は容量の逆比で分担され、80 Vと40 VからC₂＝2C₁と分かります。

ポイント解説：電圧比と面積比からεrを求める

直列接続では両コンデンサの電荷が等しいので、C₁V₁＝C₂V₂が成り立ちます。電圧の比から容量の比が分かります。

平行平板コンデンサの公式C＝εε₀A/dに、面積比（C₁はC₂の2倍）と誘電率を入れて比誘電率ε_rを求め、直列合成でC全体を計算します。

問題の解説：εr＝4と合成容量20μFを導く

STEP1　（a）電圧から容量比を求める

C₁の電圧は80V、直列全体が120VよりC₂の電圧は40V。直列で電荷が等しいので、$$C_1 V_1=C_2 V_2\;\Rightarrow\;\frac{C_1}{C_2}=\frac{V_2}{V_1}=\frac{40}{80}=\frac12$$すなわちC₂＝2C₁です。

STEP2　（a）比誘電率を求める

C₁＝ε₀(2A)/d（真空・面積2A）、C₂＝ε_rε₀A/d（誘電体・面積A）とおくと、$$\frac{C_2}{C_1}=\frac{\varepsilon_r A}{2A}=\frac{\varepsilon_r}{2}$$これがC₂/C₁＝2に等しいので、ε_r＝4。よって（a）は(4)です。

STEP3　（b）合成静電容量を求める

C₁＝30μF、C₂＝2C₁＝60μF。直列合成は$$C=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{30\times60}{30+60}=20\;[\mu\mathrm{F}]$$

したがって（b）は(2) 20です。

答え：(a)-(4)、(b)-(2)

まとめ

C1とC2の電圧	80V と 40V
容量比 C2/C1	2（＝V1/V2）
(a)比誘電率εr	4 …(4)
(b)合成容量	30×60/90＝20μF …(2)

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