静電界22【電験3種理論】コンデンサの過渡現象で抵抗に消費される電気エネルギー！令和4年上期 A問題10 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）令和4年度上期 A問題10 充電が終わるまでに熱になる！抵抗の消費は何J？

今回は令和4年度上期理論科目 A問題10を解説します。充電済みのコンデンサC₁と未充電のC₂をスイッチと抵抗Rを介して接続したとき、過渡現象が終わるまでに抵抗Rで消費される電気エネルギーを求める計算問題です。

ポイントは電荷は保存されるがエネルギーは保存されないことです。接続前後の静電エネルギーの差が、抵抗Rで熱として消費されたエネルギーになります（抵抗値によらず一定）。

令和4年度上期理論科目 A問題10：問題文と選択肢

抵抗で消費される熱は接続前後のエネルギーの差です。抵抗値Rが与えられていないのは、答えがRによらないからです。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界令和4年度上期 A問題10 問題文 — 令和4年度上期理論科目 A問題10 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和4年度上期第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題10

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】令和4年度上期 A問題10

　図の回路において、スイッチSが開いているとき、静電容量C₁＝4mFのコンデンサには電荷Q₁＝0.3Cが蓄積されており、静電容量C₂＝2mFのコンデンサの電荷はQ₂＝0Cである。この状態でスイッチSを閉じて、それから時間が十分に経過して過渡現象が終了した。この間に抵抗R〔Ω〕で消費された電気エネルギー〔J〕の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1.25　（2）2.50　（3）3.75　（4）5.63　（5）7.50〔J〕

出題のポイント：抵抗で消費される熱は「エネルギーの差」

2つのコンデンサを抵抗を介して接続します。抵抗で消費されるエネルギーを直接計算する必要はありません。

$$W_R=W_{\text{接続前}}-W_{\text{接続後}}$$

❶ エネルギー保存
減った分がすべて熱になる

コンデンサ以外にエネルギーを蓄えるものがないので、静電エネルギーの減少分は抵抗で熱になるしかありません。だから前後の差を取るだけで答えが出ます。

そしてもう一つ重要なのが、この値が抵抗Rの値によらないことです。問題文でRの値が与えられていないのは、必要ないからです。

抵抗Rの値	電流の流れ方	消費される熱の総量
小さい	短時間に大電流	3.75 J
大きい	長時間に小電流	3.75 J

充電済みコンデンサC1と未充電コンデンサC2の接続前後で電荷保存とエネルギー減少を示す図 — 総電荷は0.3 Cで保存され、静電エネルギーは11.25 Jから7.50 Jへ減少します。

問題の解説：接続前後のエネルギーを計算する

使う公式：電荷保存とエネルギーの2つの表し方

$$W=\frac{Q^2}{2C}=\frac12CV^2,\qquad Q_{\text{全}}=\text{一定},\qquad C_{\text{並列}}=C_1+C_2$$

※電荷が分かっているときは $Q^2/(2C)$ が便利。電圧を経由せずに計算できます。

STEP1　接続前のエネルギー

C₁だけが電荷を持っています。C₂は電荷0なのでエネルギーも0です。

$$W_i=\frac{Q_1^2}{2C_1}=\frac{0.3^2}{2\times4\times10^{-3}}=\frac{0.09}{0.008}=11.25\;[\mathrm{J}]$$

❷ 接続前
mF＝$10^{-3}$ F の換算に注意

参考：このときのC₁の電圧は $V_1=Q_1/C_1=0.3/0.004=75\;\mathrm{V}$ です。

STEP2　接続後のエネルギー

スイッチを閉じると電荷が移動しますが、総電荷0.3 Cは保存されます。並列なので合成容量は足し算です。

$$C_0=C_1+C_2=4+2=6\;[\mathrm{mF}]$$

❸ 並列合成

$$W_f=\frac{Q^2}{2C_0}=\frac{0.09}{2\times6\times10^{-3}}=\frac{0.09}{0.012}=7.50\;[\mathrm{J}]$$

❹ 接続後
同じ電荷を大きな容量で持つとエネルギーは減る

内訳：接続後の共通電圧は $V_f=0.3/0.006=50\;\mathrm{V}$。C₁が $\frac12\times4\mathrm{m}\times50^2=5.0\;\mathrm{J}$、C₂が $\frac12\times2\mathrm{m}\times50^2=2.5\;\mathrm{J}$——合計7.5 Jで一致します ✓

STEP3　差を取る

$$W_R=W_i-W_f=11.25-7.50=3.75\;[\mathrm{J}]$$

❺ 抵抗での消費
元の1/3が失われた

接続前11.25ジュールが接続後7.50ジュールと抵抗の消費3.75ジュールに分かれるエネルギー収支図 — 11.25＝7.50＋3.75となり、差の3.75 Jが抵抗Rで消費されます。

答え$W_R=3.75\;[\mathrm{J}]$　→　選択肢(3)

コンデンサ接続前後の静電エネルギーから抵抗の消費エネルギー3.75ジュールを求める計算図 — W_R＝W_i－W_f＝3.75 Jなので、正答は(3)です。

別解：損失を一発で出す公式

接続前後を計算しなくても、1つの式で損失が求まります。

コンデンサ接続時の損失（一般式）

$$W_R=\frac12\cdot\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\cdot(V_1-V_2)^2$$

※直列合成容量 × 初期電圧差の2乗 × 1/2。両方が充電済みの場合にも使えます。

$$\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{4\times2}{6}=\frac43\;[\mathrm{mF}]$$

❻ 直列合成の形
損失の式では直列の形が現れる

$$W_R=\frac12\times\frac43\times10^{-3}\times(75-0)^2=\frac12\times\frac43\times10^{-3}\times5625=3.75\;[\mathrm{J}]$$

❼ 代入
本解と一致 ✓

この式の形が示唆的です。損失は初期の電圧差の2乗に比例します。電圧差がなければ（$V_1=V_2$）損失はゼロ——電荷が移動しないので当然です。

両方が充電されている問題では、この一般式のほうが速いことが多いです。本解の「前後の差を取る」方法と、両方使えるようにしておくと安心です。

誤答の正体：どの段階の値を答えてしまうか

計算の途中に出てくる値が、そのまま選択肢に並んでいます。

選択肢	値	その値の正体	判定
(1)	1.25 J	自然な計算では再現できず（散らし）	×
(2)	2.50 J	接続後のC₂のエネルギー（$\frac12C_2V_f^2$）	×
(3)	3.75 J	$W_i-W_f$　★正解	○
(4)	5.63 J	$W_i/2=5.625$——「半分が失われる」と決めつけた	×
(5)	7.50 J	接続後の残りエネルギー $W_f$（減った分ではない）	×

(5)の7.50 Jが最も危険です。計算はすべて正しくできているのに、「残った量」と「減った量」を取り違えただけ。問題文は「抵抗Rで消費されたエネルギー」と聞いているので、減った分が答えです。

(4)の5.63 Jは、「コンデンサをつなぐと半分失われる」という有名な結果を機械的に当てはめた場合です。その結果は「同じ容量どうし」または「充電したコンデンサで未充電を充電する特定の条件」でのみ成り立ちます。本問は容量が4 mFと2 mFで異なるため、損失は1/3です。

(2)の2.50 Jは、接続後にC₂が持つエネルギーです。「C₂に移ったエネルギー」と「抵抗で失われたエネルギー」は別物——C₂には2.5 Jが移り、抵抗では3.75 Jが失われました。

失われる割合は容量比で決まる

本問では元の11.25 Jのうち3.75 J＝3分の1が失われました。この割合は容量の比だけで決まります。

$$\frac{W_R}{W_i}=\frac{C_2}{C_1+C_2}=\frac{2}{4+2}=\frac13$$

❽ 損失の割合
相手の容量が大きいほど損失が大きい

C₂ / C₁	接続後の電圧	失われる割合
0.5（本問）	$\frac23V_1$	1/3（33 %）
1（同じ容量）	$\frac12V_1$	1/2（50 %）
2	$\frac13V_1$	2/3（67 %）
→ 0（極小）	≒$V_1$	≒0
→ ∞（極大）	≒0	≒1（ほぼ全損）

「半分失われる」は $C_1=C_2$ のときだけです。容量が違えば割合も変わります。令和7年度上期A問題1では $C$ と $2C$ の組合せで、損失は2/3でした。

あわせて解いておきたい記事：令和7年度上期理論科目 A問題1（Cと2Cの並列接続。損失は2/3になる）

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 抵抗での消費は「接続前後のエネルギーの差」。直接積分する必要はない
② Rの値が与えられていないのは、必要ないから——損失はRによらない
③ 電荷が分かっているときは$W=Q^2/(2C)$ が便利（電圧を経由しない）
④ 別解：$W_R=\frac12\cdot\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\cdot(V_1-V_2)^2$ で一発
⑤ 「減った分」を聞かれている——「残った分」（$W_f$）を答えない

💡 覚え方
「差が熱になる」。コンデンサのつなぎ替えでは、減った静電エネルギーがそのまま抵抗の熱です。損失の割合は相手の容量の割合 $C_2/(C_1+C_2)$——同じ容量なら半分、相手が大きいほど多く失われます。

⚠️ よくある間違い
接続後のエネルギー $W_f$ をそのまま答えるのが最頻出です（選択肢(5)）。聞かれているのは減った分。また「必ず半分が失われる」という思い込み（選択肢(4)）も要注意で、それは容量が等しいときだけの話です。

まとめ

接続前エネルギー	Q₁²/2C₁＝11.25J
接続後の共通電圧	0.3/6mF＝50V
接続後エネルギー	½×6mF×50²＝7.5J
抵抗の消費	11.25−7.5＝3.75J …(3)