静電界21【電験3種 理論】正三角形に置いた点電荷に働く力の比！令和4年上期 A問題2 完全解説

今回は令和4年度上期 理論科目 A問題2を解説します。一辺1mの正三角形の各頂点に＋1C、＋1C、-1Cの点電荷を置いたとき、正の点電荷に働く力F₁と負の点電荷に働く力F₂の比F₂/F₁を求める計算問題です。

各ペア間の力の大きさはすべて等しく（距離1m）、ベクトルとして合成します。負電荷は2つの正電荷から引かれて力が加算的に、正電荷は引力と斥力が部分的に打ち消し合います。

令和4年度上期 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和4年度上期 A問題2

　真空中において、図に示すように一辺の長さが1mの正三角形の各頂点に1C又は-1Cの点電荷がある。この場合、正の点電荷に働く力の大きさF₁〔N〕と、負の点電荷に働く力の大きさF₂〔N〕の比F₂/F₁の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）√2　（2）1.5　（3）√3　（4）2　（5）√5

出題のポイント：引力と斥力をベクトル合成

各点電荷間の距離と電荷量の絶対値が等しいため、2体間力の大きさはすべてkです。ただし向きは、異符号なら引力、同符号なら斥力となるため、ベクトルとして合成します。

ポイント解説：60°と120°を使い分ける

各ペア間の力は距離が等しい（1m）ので大きさはすべて等しくk（＝1/4πε₀）です。向きを考えてベクトル合成します。

負電荷は2つの正電荷から引かれ、水平成分が打ち消し合い鉛直成分が加算されてF₂＝√3・kになります。正電荷は引力と斥力が合成されF₁＝kになります。

問題の解説：F₂/F₁＝√3を導く

STEP1　負の点電荷に働く力F₂を求める

頂点の-1Cは、両底辺の＋1Cから引力を受けます。各力の大きさはk。2力の水平成分は打ち消し合い、鉛直成分（下向き）が加算されます。各力の鉛直成分はk・cos30°＝k・(√3/2)なので、

$$F_2=2\times k\times\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\,k\;[\mathrm{N}]$$

STEP2　正の点電荷に働く力F₁を求める

底辺の＋1Cには、頂点の-1Cからの引力（大きさk）と、もう一方の＋1Cからの斥力（大きさk）が働きます。この2力（互いに120°）を合成すると、

$$F_1=\sqrt{k^2+k^2+2k\cdot k\cos120^\circ}=\sqrt{k^2+k^2-k^2}=k\;[\mathrm{N}]$$

STEP3　比を求める

$$\frac{F_2}{F_1}=\frac{\sqrt3\,k}{k}=\sqrt3\fallingdotseq 1.73$$

したがって、最も近いのは(3) √3です。

答え：(3) √3（≒1.73）

まとめ

各ペアの力	k（距離1mで等しい）
負電荷 F2	√3・k（鉛直成分が加算）
正電荷 F1	k（引力＋斥力の合成）
比 F2/F1	√3 …(3)

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