静電界29【電験3種 理論】3種類の誘電体コンデンサの電界と絶縁破壊電圧の大小関係！令和2年 B問題17 完全解説

今回は令和2年度 理論科目 B問題17を解説します。厚さ・比誘電率・絶縁破壊電界が異なる3つの平行平板コンデンサ①〜③について、（a）同じ電圧を加えたときの電界の強さの大小、（b）絶縁破壊電圧の大小を求める問題です。

各コンデンサのギャップが単一・均一な誘電体で、印加電圧V₀が固定される本問では、電界E＝V₀/dは厚さdに反比例します。比誘電率は静電容量と電荷には影響しますが、この電界比較には直接現れません。絶縁破壊電圧はV_BD＝E_BDdで求めます。

令和2年度 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和2年度 B問題17

　図のように、誘電体の種類、比誘電率、絶縁破壊電界、厚さがそれぞれ異なる三つの平行板コンデンサ①〜③がある。極板の形状と大きさは同一で、コンデンサの端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。上側の極板に電圧V₀〔V〕の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。①は気体（比誘電率1、絶縁破壊電界10kV/mm、厚さ4.0mm）、②は液体（比誘電率2、絶縁破壊電界20kV/mm、厚さ1.0mm）、③は固体（比誘電率4、絶縁破壊電界50kV/mm、厚さ0.5mm）である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）各平行板コンデンサへの印加電圧の大きさが同一のとき、極板間の電界の強さの大きい順として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）①＞②＞③　（2）①＞③＞②　（3）②＞①＞③　（4）③＞①＞②　（5）③＞②＞①

（b）各平行板コンデンサへの印加電圧を徐々に上昇し、電界が絶縁破壊電界に達したときの印加電圧（絶縁破壊電圧）の大きい順として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）①＞②＞③　（2）①＞③＞②　（3）②＞①＞③　（4）③＞①＞②　（5）③＞②＞①

出題のポイント：固定電圧の電界と絶縁破壊電圧を分ける

各コンデンサのギャップが単一かつ均一な誘電体で、印加電圧V₀が固定される本問では、極板間の電界はE＝V₀/dです。したがって電界の比較は厚さdで決まります。一方、絶縁破壊電圧はVBD＝EBDdなので、材料の絶縁破壊電界と厚さの積を比較します。比誘電率は静電容量と蓄積電荷には影響しますが、この二つの比較式には直接現れません。

ポイント解説：厚さdと絶縁破壊電界EBDを使い分ける

（a）は各コンデンサに同じ電圧V₀を加えます。各ギャップが単一・均一な誘電体である本問では、電界E＝V₀/dは厚さdに反比例します。比誘電率は容量と電荷には影響しますが、固定電圧下の電界比較には直接現れません。

（b）の絶縁破壊電圧は、電界が絶縁破壊電界に達したときの電圧で、V＝（絶縁破壊電界）×（厚さ）で求まります。

問題の解説：電界③＞②＞①、破壊電圧①＞③＞②

STEP1　（a）電界の大小を求める

E＝V₀/dで、①d＝4.0mm、②d＝1.0mm、③d＝0.5mm。電界は1/dに比例するので、$$E_1:E_2:E_3=\frac{1}{4}:\frac{1}{1}:\frac{1}{0.5}=0.25:1:2$$

したがって③＞②＞①で、（a）は(5)です。

STEP2　（b）絶縁破壊電圧を求める

絶縁破壊電圧をV_BD、絶縁破壊電界をE_BDとすると、V_BD＝E_BDdです。したがって、$$V_{\mathrm{BD},1}=10\times4.0=40,\quad V_{\mathrm{BD},2}=20\times1.0=20,\quad V_{\mathrm{BD},3}=50\times0.5=25\;[\mathrm{kV}]$$

STEP3　（b）大小を比べる

V₁＝40kV＞V₃＝25kV＞V₂＝20kVより①＞③＞②。したがって（b）は(2)です。

答え：(a)-(5)、(b)-(2)

まとめ

(a)電界 E＝V0/d	相対値 ③(2)＞②(1)＞①(0.25) …(5)
①の破壊電圧	10×4.0＝40kV
②③の破壊電圧	20kV・25kV
(b)破壊電圧の大小	①＞③＞② …(2)

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