静電界30【電験3種 理論】点電荷がつくる電位差が最小・最大となる配置を求める！令和元年 A問題1 完全解説

今回は令和元年度 理論科目 A問題1を解説します。点電荷Qを置いた点Pと、直線上の点A・点Bについて、A-B間の電位差の絶対値|V_AB|が、4つの実験(a)〜(d)のうち最小・最大となる組合せを求める計算問題です。

点電荷がつくる電位はV＝kQ/r（rは点電荷からの距離）です。|V_AB|＝k|Q||1/r_A−1/r_B|を各実験で計算し、大小を比べます。

令和元年度 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和元年度 A問題1

　図のように、真空中に点P、点A、点Bが直線上に配置されている。点PはQ〔C〕の点電荷を置いた点とし、A-B間に生じる電位差の絶対値を|V_AB|〔V〕とする。次の(a)〜(d)の四つの実験を個別に行ったとき、|V_AB|〔V〕の値が最小となるものと最大となるものの実験の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

次の(a)〜(d)の四つの実験を個別に行ったとき、|V_AB|の値が最小となるものと最大となるものの実験の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。（実験内容：(a) P-A間2m・A-B間1m、(b) P-A間1m・A-B間2m、(c) P-A間0.5m・A-B間1m、(d) P-A間1m・A-B間0.5m）

（1）(a)と(b)　（2）(a)と(c)　（3）(a)と(d)　（4）(b)と(c)　（5）(c)と(d)

出題のポイント：電位差は2点のPからの距離で決まる

点電荷Qによる電位はV＝kQ/rです。したがって電位差の絶対値は|VAB|＝k|Q||1/rA−1/rB|となります。P-A間をa、A-B間をdとすればrA＝a、rB＝a＋dなので、比較因子はd/[a(a＋d)]です。kと|Q|は4実験で共通のため、大小比較には影響しません。

ポイント解説：1/rの差を距離条件から比較する

点電荷Qがつくる電位はV＝kQ/r（k＝1/4πε₀、rは点電荷からの距離）です。A-B間の電位差は|V_AB|＝k|Q||1/r_A−1/r_B|で求まります。

各実験でr_A（P-A間）とr_B（P-B間＝P-A間＋A-B間）を求め、(1/r_A-1/r_B)を計算して大小を比べます。

問題の解説：4通りを1/6・2/3・4/3・1/3で比較する

STEP1　各実験のr_A・r_Bを整理する

(a) r_A＝2、r_B＝3　(b) r_A＝1、r_B＝3　(c) r_A＝0.5、r_B＝1.5　(d) r_A＝1、r_B＝1.5（単位m）です。

STEP2　1/r_A−1/r_Bを計算する

(a) 1/2−1/3＝1/6≒0.167　　(b) 1−1/3＝2/3≒0.667

(c) 2−1/1.5＝4/3≒1.333　　(d) 1−1/1.5＝1/3≒0.333

|V_AB|はこの値に比例します。

STEP3　最小・最大を選ぶ

最小は(a)（0.167）、最大は(c)（1.333）です。したがって組合せは(a)と(c)＝(2)です。

答え：(2)（最小(a)・最大(c)）

まとめ

(a)	1/2−1/3＝0.167（最小）
(b)	1−1/3＝0.667
(c)	2−1/1.5＝1.333（最大）
(d)	1−1/1.5＝0.333、答(2)

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