磁気・電磁力3【電験3種 理論】自己インダクタンスと巻数の関係（L∝N²）から巻数を求める！令和7年上期 A問題3 完全解説

今回は令和7年度上期 理論科目 A問題3を解説します。同一の環状鉄心に巻いたコイル1（巻数N、自己インダクタンスL）とコイル2（巻数n、自己インダクタンス9L）について、巻数nを求める問題です。

同じ環状鉄心では磁気抵抗ℜ_mが共通です。起磁力NIによって磁束Φ＝NI/ℜ_mが生じ、N巻すべてに鎖交するので、磁束鎖交数はλ＝NΦ＝N²I/ℜ_mです。したがって自己インダクタンスはL＝λ/I＝N²/ℜ_mとなります。インダクタンス比9は巻数比の2乗なので、n/N＝√9＝3です。

令和7年度上期 理論科目 A問題3：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（磁気・電磁力）】 令和7年度上期 A問題3

　図のように、環状鉄心に二つのコイルが巻かれている。コイル1の巻数はNであり、その自己インダクタンスはL〔H〕である。コイル2の巻数はnであり、その自己インダクタンスは9L〔H〕である。巻数nの値を表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、鉄心は均一で一定断面積をもち、コイル及び鉄心の漏れ磁束はなく、鉄心の磁気飽和もないものとする。

（1）N/9　（2）N/3　（3）3N　（4）9N　（5）81N

出題のポイント：磁束鎖交数でもう一度Nを掛ける

同じ環状鉄心では磁気抵抗ℜ_mが共通です。巻数Nのコイルに電流Iを流すと、起磁力はNI、磁束はΦ＝NI/ℜ_mとなります。さらにN巻すべてに磁束が鎖交するため、磁束鎖交数はλ＝NΦ＝N²I/ℜ_mです。したがって自己インダクタンスはL＝λ/I＝N²/ℜ_mとなり、巻数の2乗に比例します。インダクタンスが9倍なら巻数は√9＝3倍です。

ポイント解説：NIから磁束と磁束鎖交数を順に求める

磁気抵抗をℜ_mとすると、起磁力NIによる磁束はΦ＝NI/ℜ_mです。磁束鎖交数は、1巻当たりの磁束Φに巻数Nを掛けたλ＝NΦなので、λ＝N²I/ℜ_mとなります。自己インダクタンスL＝λ/Iより、同じ磁気回路ではL＝N²/ℜ_mです。

問題文の均一な鉄心、一定断面積、漏れ磁束なし、磁気飽和なしという条件により、二つのコイルは同じ磁気抵抗ℜ_mを用いて比較できます。したがって、コイル1とコイル2の自己インダクタンス比は、そのまま巻数比の2乗になります。

問題の解説：インダクタンス比9の平方根からn＝3N

STEP1　巻数と自己インダクタンスの関係

巻数N、電流Iのコイルでは、起磁力・磁束・磁束鎖交数は順に、$$\mathcal{F}=NI,\qquad \Phi=\frac{NI}{\mathcal{R}_m},\qquad \lambda=N\Phi=\frac{N^2I}{\mathcal{R}_m}$$です。したがって、$$L_1=\frac{\lambda}{I}=\frac{N^2}{\mathcal{R}_m}$$となります。ℜ_mは磁気抵抗であり、電気抵抗ではありません。

STEP2　比を取る

コイル2の自己インダクタンスをL₂＝9L、コイル1をL₁＝Lとすると、同じ磁気抵抗ℜ_mをもつため、$$\frac{L_2}{L_1}=\frac{n^2/\mathcal{R}_m}{N^2/\mathcal{R}_m}=\left(\frac{n}{N}\right)^2=9$$となります。

STEP3　巻数を求める

巻数Nとnは正の量なので、比の正の平方根を取り、$$\frac{n}{N}=\sqrt{9}=3\quad\Rightarrow\quad n=3N$$となります。したがって正しい選択肢は(3)です。

答え：(3)（インダクタンス比9に対して巻数比は√9＝3、n＝3N）

まとめ

共通条件	同じ環状鉄心、磁気抵抗ℜmが共通
基本式	L＝N2/ℜm
インダクタンス比	L2/L1＝9
巻数比	n/N＝√9＝3
答え	n＝3N、選択肢(3)

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