今回は平成21年度 理論科目 A問題3を解説します。インダクタンス1mHのコイルに電流10Aを流したときの磁束鎖交数Ψと磁気エネルギーW、さらに電流を30Aにしたときのそれぞれの倍率を求める空欄補充問題です。
Lが一定の線形コイルでは、磁束鎖交数はΨ＝NΦ＝LI（電流に比例）、磁気エネルギーはW＝½LI2（電流の2乗に比例）です。ここでΦは1巻を貫く磁束、Nは巻数、Ψはコイル全体の磁束鎖交数です。電流を3倍にするとΨは3倍、Wは9倍になります。
平成21年度 理論科目 A問題3：問題文と選択肢
まずは、平成21年度に実際に出題された問題文と選択肢を確認しましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成21年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題3
電験3種 理論科目 【電磁気（磁気・電磁力）】 平成21年度 A問題3
次の文章は、コイルの磁束鎖交数とコイルに蓄えられる磁気エネルギーについて述べたものである。インダクタンス1〔mH〕のコイルに直流電流10〔A〕が流れているとき、このコイルの磁束鎖交数Ψ1〔Wb〕は（ア）〔Wb〕である。また、コイルに蓄えられている磁気エネルギーW1〔J〕は（イ）〔J〕である。次に、このコイルに流れる直流電流を30〔A〕とすると、磁束鎖交数Ψ2〔Wb〕と蓄えられる磁気エネルギーW2〔J〕はそれぞれ（ウ）となる。
上記の記述中の空白箇所（ア）〜（ウ）に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（ア） （イ） （ウ） (1) 5×10-3 5×10-2 Ψ2はΨ1の3倍、W2はW1の9倍 (2) 1×10-2 5×10-2 Ψ2はΨ1の3倍、W2はW1の9倍 (3) 1×10-2 1×10-2 Ψ2はΨ1の9倍、W2はW1の3倍 (4) 1×10-2 5×10-1 Ψ2はΨ1の3倍、W2はW1の9倍 (5) 5×10-2 5×10-1 Ψ2はΨ1の9倍、W2はW1の27倍
出題のポイント：\(\varPsi\) は1乗、\(W\) は2乗
磁束鎖交数は電流に比例し、磁気エネルギーは電流の2乗に比例します。この次数の違いが、そのまま（ウ）の倍率の違いになります。電流を3倍にすると、\(\varPsi\) は3倍、\(W\) は9倍です。
コンデンサとまったく同じ構造だと気づくと、覚える負担が半分になります。\(Q=CV\)（1乗）と \(W=\frac12CV^2\)（2乗）——コイルの \(\varPsi=LI\) と \(W=\frac12LI^2\) は、記号を入れ替えただけの同じ形です。
（ア）（イ）数値を代入する
\(\frac12\) は付かない
\(\frac12\) と2乗の両方が必要
\(1\;\mathrm{mH}=1\times10^{-3}\;\mathrm{H}\) の換算を忘れないでください。mH のまま計算すると答えが1000倍になります。
\(W_1=5\times10^{-2}\;\mathrm{J}\) が \(\varPsi_1\) より大きい値になるのは、\(I^2=100\) を掛けているからです。数値の大小に違和感を持つ必要はありません——単位が違うので比較する意味もありません。
（ウ）電流を3倍にすると
| 量 | 式 | \(I\) の次数 | \(I\) を3倍にすると |
| 磁束鎖交数 \(\varPsi\) | \(LI\) | 1乗 | 3倍 |
| 磁気エネルギー \(W\) | \(\frac12LI^2\) | 2乗 | \(3^2=9\) 倍 |
実際の値でも確認できます。\(\varPsi_2=1\times10^{-3}\times30=3\times10^{-2}\;\mathrm{Wb}\) で確かに3倍、\(W_2=\frac12\times1\times10^{-3}\times900=0.45\;\mathrm{J}\) で確かに9倍です。
この「1乗と2乗」の対比は、電験のあらゆる場面で現れます。電荷と静電エネルギー、磁束鎖交数と磁気エネルギー、電流とジュール熱——エネルギーは常に2乗だと覚えておいてください。
誤答の正体：\(\frac12\) の付け場所
| 誤り方 | （ア）の値 | （イ）の値 | 選択肢 |
| （ア）に \(\frac12\) を付ける | \(5\times10^{-3}\) | \(5\times10^{-2}\) | (1) |
| （イ）で \(\frac12\) を忘れる | \(1\times10^{-2}\) | \(1\times10^{-1}\) | — |
| 倍率を逆にする | — | — | (3)（\(\varPsi\) 9倍・\(W\) 3倍） |
| 3乗と勘違いする | — | — | (5)（\(W\) が27倍） |
| 正しい計算 | \(1\times10^{-2}\) | \(5\times10^{-2}\) | (2) ◎ |
(1)の \(5\times10^{-3}\) は、（ア）に \(\frac12\) を付けてしまった値です。磁束鎖交数はエネルギーではないので、\(\frac12\) は付きません。
(3)は倍率が逆、(5)は \(W\) を27倍（3乗）としている誤りです。\(W\propto I^2\) なので \(3^2=9\) 倍——指数をそのまま倍率の指数にすると覚えておけば間違えません。
⚠️ よくある間違い
「\(\frac12\) が付くのはエネルギーだけ」と覚えてください。\(\varPsi=LI\)、\(Q=CV\) には付かず、\(W=\frac12LI^2\)、\(W=\frac12CV^2\) には付きます。エネルギーは「積み上げていった総量」なので、平均を取るぶん \(\frac12\) が出る——という理解でも構いません。
深掘り：なぜエネルギーに \(\frac12\) が付くのか
電流をゼロから \(I\) まで増やしていく過程を考えます。コイルには \(v=L\,di/dt\) の電圧が生じ、これに逆らって電流を流すのに仕事が必要です。
電流を少しずつ増やしていく
ここで \(\frac12\) が出てくる
\(\frac12\) は積分から出てきた係数です。「最初は電流が小さいので、必要な仕事も小さい」——平均すると最終値の半分、という意味になります。
このエネルギーはコイルの周囲の磁界に蓄えられます。電流を切ると、蓄えられたエネルギーが放出され、これがサージ電圧の正体です。\(I\) が2倍になればエネルギーは4倍——大電流回路でコイルを扱うときに注意が必要な理由がここにあります。
💡 覚え方
コンデンサとコイルは完全に対になっています。\(Q=CV\) ↔ \(\varPsi=LI\)、\(W=\frac12CV^2\) ↔ \(W=\frac12LI^2\)。電圧と電流、\(C\) と \(L\) を入れ替えるだけ——片方を覚えればもう片方も書けます。
⏱️ 本番での進め方
❶ mH を H に直す。\(1\;\mathrm{mH}=10^{-3}\;\mathrm{H}\)。
❷ \(\frac12\) はエネルギーだけ。\(\varPsi=LI\) には付かない。
❸ 倍率は指数どおり。1乗なら3倍、2乗なら9倍。
❹ コンデンサと対で覚える。\(Q=CV\) と \(W=\frac12CV^2\) を思い出せば復元できる。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
まとめ
| 単位換算 | 1mH＝1×10−3H |
| (ア) Ψ1 | LI1＝1×10−2Wb |
| (イ) W1 | ½LI12＝5×10−2J |
| (ウ) Iが3倍 | Ψは3倍、Wは9倍 |
| 参考値 | Ψ2＝3×10−2Wb、W2＝0.45J |
| 公式正答 | (2) |
▼あわせて解きたい関連問題
・磁気エネルギー・インダクタンスの関連問題：【理論】平成29年度A問題3
コメント