静電界34【電験3種 理論】電圧一定の平行板コンデンサに誘電体・導体を挿入すると空気ギャップの電界は？平成30年 A問題2 完全解説

今回は平成30年度 理論科目 A問題2を解説します。極板間電圧を一定に保った平行板空気コンデンサに、（ア）固体誘電体、（イ）導体をそれぞれ極板と平行に挿入したとき、空気ギャップの電界の強さが挿入前と比べてどうなるかを問う空欄補充問題です。

挿入前の空気中電界はE₀＝V/d₀です。誘電体を挿入した場合の空気部の有効電気厚さはd₀−d₁＋d₁/ε_r、導体を挿入した場合はd₀−d₂です。どちらもd₀より小さいため、空気ギャップの電界は挿入前より強くなります。

平成30年度 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成30年度 A問題2

　次の文章は、平行板コンデンサの電界に関する記述である。

　極板間距離d₀〔m〕の平行板空気コンデンサの極板間電圧を一定とする。極板と同形同面積の固体誘電体（比誘電率ε_r＞1、厚さd₁〔m〕＜d₀〔m〕）を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、固体誘電体を挿入する前の値と比べて（ア）。また、極板と同形同面積の導体（厚さd₂〔m〕＜d₀〔m〕）を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、導体を挿入する前の値と比べて（イ）。ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

上記の記述中の空白箇所（ア）及び（イ）に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	（ア）	（イ）
(1)	強くなる	強くなる
(2)	強くなる	弱くなる
(3)	弱くなる	強くなる
(4)	弱くなる	弱くなる
(5)	変わらない	変わらない

出題のポイント：電圧一定なら空気部の電界は強くなる

挿入前の空気中電界はE₀＝V/d₀です。誘電体を挿入すると、空気部の電界はEair＝V/{d₀−d₁＋d₁/εr}となり、εr＞1なので分母はd₀より小さくなります。導体を挿入した場合は導体内部の電界が零なので、Eair＝V/(d₀−d₂)です。いずれもEair＞E₀となるため、正答は（1）です。

ポイント解説：有効電気厚さを挿入前と比較する

極板間電圧Vを一定に保つと、空気部の電界は有効電気厚さで決まります。誘電体挿入時の有効電気厚さはd₀−d₁＋d₁/ε_r、導体挿入時はd₀−d₂であり、いずれも挿入前のd₀より小さくなります。

誘電体内部の電界は空気部の1/ε_rで、誘電体内部にも電圧降下があります。一方、導体内部の電界と電圧降下は零です。どちらの場合も空気部の電界は挿入前より強くなります。

問題の解説：誘電体・導体とも「強くなる」

STEP1　（ア）固体誘電体を挿入した場合

空気層と誘電体層の界面に自由電荷がないため、法線方向の電束密度Dは共通です。したがって、E_誘＝E_空/ε_rとなり、$$E_{\text{空}}=\frac{V}{(d_0-d_1)+\dfrac{d_1}{\varepsilon_r}}$$です。

ε_r＞1なので分母は d₀ より小さく、E_空＞V/d₀。したがって（ア）は強くなるです。

STEP2　（イ）導体を挿入した場合

導体内部は静電平衡で電界が零となり、電圧降下もありません。したがって、電圧Vは合計厚さd₀−d₂の空気ギャップにかかり、$$E_{\text{空}}=\frac{V}{d_0-d_2}\gt \frac{V}{d_0}$$となります。

空気ギャップの電界は挿入前より強くなるので、（イ）も強くなるです。

STEP3　組合せを選ぶ

本問の条件では、（ア）強くなる・（イ）強くなるとなるため、正しい組合せは(1)です。誘電体と導体で分母の式が異なる点まで区別して理解しましょう。

答え：(1)（（ア）強くなる、（イ）強くなる）

まとめ

条件	極板間電圧V一定
(ア)誘電体挿入	有効厚さ減→E空強くなる
(イ)導体挿入	空気ギャップに全電圧→強くなる
答え	(1)

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