静電界7【電験3種 理論】2種類の誘電体を挿入した平行平板コンデンサに蓄えられる電荷！令和6年下期 A問題1 完全解説

今回は令和6年度下期 理論科目 A問題1を解説します。電極面積0.1m²、電極間隔6mmの平行平板コンデンサに、比誘電率ε₁＝2（厚さ2mm）と比誘電率ε₂＝4（厚さ4mm）の2種類の誘電体を電極と平行に挿入し、12Vを加えたときに蓄えられる電荷を求める計算問題です。

誘電体が電極と平行に層状に重なっているので、これは2つのコンデンサの直列接続です。各層の静電容量を求めて直列合成し、Q＝CVで電荷を計算します。

令和6年度下期 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和6年度下期 A問題1

　図のように、電極面積0.1m²、電極間隔6mmの平行平板コンデンサに、比誘電率ε₁＝2、厚さ2mm及び比誘電率ε₂＝4、厚さ4mmの2種類の誘電体が電極と平行に挿入されている。このコンデンサに12Vの直流電圧を印加したとき、蓄えられる電荷の値〔C〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、真空の誘電率をε₀＝8.85×10^-12F/mとし、コンデンサの端効果は無視するものとする。

（1）5.3×10^-9　（2）7.8×10^-9　（3）9.4×10^-9　（4）2.1×10^-8　（5）4.5×10^-8〔C〕

出題のポイント：電極に平行な層は直列

誘電体が極板と平行な境界で厚さ方向に重なる場合、各層は直列接続として扱います。各層の電荷は共通で、印加電圧12Vを二つの層が分担します。

ポイント解説：各層の容量を計算

誘電体が電極と平行に層状に重なっている場合、各層は直列接続のコンデンサとみなせます（電荷Qが共通）。

各層の静電容量C＝εε₀A/（層の厚さ）を求め、直列合成C＝C₁C₂/(C₁＋C₂)としてから、Q＝CVで電荷を求めます。

問題の解説：合成容量から電荷を求める

STEP1　各層の静電容量を求める

電極面積A＝0.1m²。第1層（ε₁＝2、厚さ2mm）と第2層（ε₂＝4、厚さ4mm）の容量は、

$$C_1=\frac{2\times 8.85\times10^{-12}\times 0.1}{2\times10^{-3}}=8.85\times10^{-10}\;[\mathrm{F}]$$

$$C_2=\frac{4\times 8.85\times10^{-12}\times 0.1}{4\times10^{-3}}=8.85\times10^{-10}\;[\mathrm{F}]$$

偶然C₁＝C₂となります。

STEP2　直列合成容量を求める

$$C=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{8.85\times10^{-10}}{2}=4.425\times10^{-10}\;[\mathrm{F}]$$

STEP3　蓄えられる電荷を求める

$$Q=CV=4.425\times10^{-10}\times 12\fallingdotseq 5.3\times10^{-9}\;[\mathrm{C}]$$

したがって、最も近いのは(1) 5.3×10^-9です。

答え：(1) 5.3×10^-9 C

まとめ

第1層 C1	8.85×10-10F
第2層 C2	8.85×10-10F
直列合成 C	4.425×10-10F
電荷 Q＝CV	5.3×10-9C …(1)

▼あわせて解きたい関連問題
・誘電体を挿入した平行板コンデンサの関連問題：【理論】令和7年度下期A問題1