静電界3【電験3種 理論】誘電体を挿入した平行板コンデンサの電界と静電エネルギー！令和7年下期 B問題17 完全解説

今回は令和7年度下期 理論科目 B問題17を解説します。厚さd〔m〕・表面積S〔m²〕の平行板コンデンサに、3種類の誘電体を縦に積層したコンデンサA（直列）と横に並置したコンデンサB（並列）を扱います。（a）コンデンサA内部の電界の大小関係と最大値、（b）両コンデンサの蓄積エネルギーの比を求めます。

直列（A）では各層を貫く電束密度D＝εEが一定なので、誘電率が小さい層ほど電界Eが大きくなります。並列（B）では各部の電圧Vが共通です。静電容量を求めてしまえば、エネルギーはW＝½CV²より容量の比＝エネルギーの比となります。

令和7年度下期 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和7年度下期 B問題17

　図のように、極板間の厚さd〔m〕、表面積S〔m²〕の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれE_A1、E_A2、E_A3、コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれE_B1、E_B2、E_B3とし、端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。両コンデンサの上側の極板に電圧V〔V〕の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）コンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	電界の大小関係	最大値〔V/m〕
(1)	EA1＜EA2＜EA3	3V/5d
(2)	EA1＞EA2＞EA3	3V/5d
(3)	EA1＝EA2＝EA3	V/d
(4)	EA1＜EA2＜EA3	9V/5d
(5)	EA1＞EA2＞EA3	9V/5d

（b）コンデンサB全体の蓄積エネルギーは、コンデンサA全体の蓄積エネルギーの何倍か。最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.72　（2）0.83　（3）1.00　（4）1.20　（5）1.38倍

出題のポイント：積層は直列、並置は並列

コンデンサAは誘電体が厚さ方向に積層されるため直列、コンデンサBは面積方向に並ぶため並列として扱います。Aでは電束密度Dが各層で共通、Bでは各区画の電圧Vが共通です。

ポイント解説：コンデンサAの最大電界

コンデンサA（縦に積層）は直列接続です。直列では各層を貫く電束密度D＝εEが一定なので、誘電率εが小さい層ほど電界E＝D/εが大きくなります。

コンデンサB（横に並置）は並列接続で、各部の電圧Vが共通です。エネルギーはW＝½CV²なので、同じ電圧なら静電容量の比＝蓄積エネルギーの比になります。

問題の解説：容量比からエネルギー比へ

STEP1　（a）コンデンサA内部の電界の大小関係

直列では電束密度Dが全層で等しく、各層の電界はE＝D/εです。誘電率は上から2ε₀、3ε₀、6ε₀なので、

$$E_{A1}:E_{A2}:E_{A3}=\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{6}=3:2:1$$

よってE_A1＞E_A2＞E_A3（誘電率が最も小さい上の層が最大）。

STEP2　（a）最大値E_A1を電圧Vで表す

各層の厚さはd/6、d/3、d/2。電圧は各層の電位差の和なので、共通のDを使うと、

$$V=\frac{D}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{d}{6}+\frac{D}{3\varepsilon_0}\cdot\frac{d}{3}+\frac{D}{6\varepsilon_0}\cdot\frac{d}{2}=\frac{Dd}{\varepsilon_0}\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}\right)=\frac{5}{18}\cdot\frac{Dd}{\varepsilon_0}$$

よってD/ε₀＝18V/(5d)。最大の電界はE_A1＝D/(2ε₀)なので、$$E_{A1}=\frac12\cdot\frac{18V}{5d}=\frac{9V}{5d}\;[\mathrm{V/m}]$$

したがって（a）は(5) E_A1＞E_A2＞E_A3、最大値9V/5dです。

STEP3　（b）コンデンサA・Bの静電容量を求める

コンデンサA（直列）の合成容量は、各層C＝εS/(厚さ)より、$$\frac{1}{C_A}=\frac{d/6}{2\varepsilon_0 S}+\frac{d/3}{3\varepsilon_0 S}+\frac{d/2}{6\varepsilon_0 S}=\frac{d}{\varepsilon_0 S}\cdot\frac{5}{18}\;\Rightarrow\;C_A=\frac{18}{5}\cdot\frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

コンデンサB（並列）は各部の面積S/6、S/3、S/2、厚さdより、$$C_B=\frac{2\varepsilon_0(S/6)}{d}+\frac{3\varepsilon_0(S/3)}{d}+\frac{6\varepsilon_0(S/2)}{d}=\left(\frac13+1+3\right)\frac{\varepsilon_0 S}{d}=\frac{13}{3}\cdot\frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

STEP4　（b）エネルギーの比を求める

同じ電圧Vなのでエネルギー比は容量比に等しく、$$\frac{W_B}{W_A}=\frac{C_B}{C_A}=\frac{13/3}{18/5}=\frac{13}{3}\times\frac{5}{18}=\frac{65}{54}\fallingdotseq 1.20$$

したがって（b）は(4) 1.20倍です。

答え：(a)-(5)、(b)-(4)（最大電界9V/5d、エネルギー比約1.20倍）

まとめ

A（直列）の電界	D一定→EA1＞EA2＞EA3、最大9V/5d
A の合成容量	CA＝(18/5)ε0S/d
B（並列）の合成容量	CB＝(13/3)ε0S/d
エネルギー比 WB/WA	65/54≒1.20倍 …(4)

▼あわせて解きたい関連問題
・誘電体を挿入した平行板コンデンサの関連問題：【理論】令和7年度下期A問題1