今回は令和6年度上期 理論科目 B問題15を解説します。v(t)＝500sin(1000t)、i(t)＝−50cos(1000t)から、(a)回路素子の種類と値、(b)蓄積エネルギーの最大値Wmaxを求めます。
sin表現へ統一して位相を判定し、v＝Ldi/dtとXL＝ωLの2経路で素子値を検算します。エネルギーは瞬時値wL(t)＝Li²(t)/2として求め、p(t)＝v(t)i(t)＝dw/dtまで確認します。
令和6年度上期 理論科目 B問題15：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和6年度上期 第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題15
電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 令和6年度上期 B問題15
図の交流回路において、回路素子は、インダクタンスLのコイル又は静電容量Cのコンデンサである。この回路に正弦波交流電圧v＝500sin(1000t)〔V〕を加えたとき、回路に流れる電流は、i＝−50cos(1000t)〔A〕であった。このとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。
（a）回路素子の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（1）C＝10nF （2）C＝100nF （3）C＝10μF （4）L＝10mH （5）L＝100mH
（b）この回路素子に蓄えられるエネルギーの最大値Wmax〔J〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、インダクタンスではLi²/2、静電容量ではCv²/2のエネルギーが蓄えられるものとする。
（1）2.5 （2）6.25 （3）12.5 （4）25 （5）125〔J〕
出題のポイント：\(\sin\) にそろえて位相を比べる
電圧は \(\sin\)、電流は \(\cos\) で与えられています。このままでは位相を比べられないので、まず \(\sin\) に統一します。
\(-\cos\theta=\sin(\theta-90^\circ)\) ですから、\(i=-50\cos1000t=50\sin(1000t-\pi/2)\)——電流が電圧より90°【遅れている】と読めます。
電流が遅れているのでコイルと決まります。この段階で選択肢(1)(2)(3)のコンデンサは全部消える——残るのは(4)と(5)だけです。
(a) の解説：リアクタンスから \(L\) を出す
90°遅れ → コイル
実効値どうしでも同じ
❷では最大値どうしの比を取っています。実効値どうしの比 \((500/\sqrt2)\div(50/\sqrt2)\) でも同じ10 Ω——\(\sqrt2\) が約分されるので、どちらでも構いません。
微分の関係からも確かめられます。コイルでは \(v=L\dfrac{di}{dt}\) なので、\(L\times\dfrac{d}{dt}(-50\cos1000t)=L\times50000\sin1000t\)——これが \(500\sin1000t\) に等しいので \(L=0.01\ \mathrm{H}\) です。
(b) の解説：最大値のときのエネルギー
コイルに蓄えられるエネルギーは \(w=\dfrac{1}{2}Li^{2}\) です。これが最大になるのは、電流が最大値 \(I_m=50\ \mathrm{A}\) のときです。
実効値ではない
瞬時のエネルギーを式で書くと \(w(t)=\dfrac{1}{2}\times0.01\times(50\cos1000t)^{2}=12.5\cos^{2}1000t\) です。\(\cos^{2}\) の最大値は1なので、\(w\) の最大値は12.5 J——1周期に2回、この値に達します。
誤答の正体：実効値で計算すると6.25 Jになる
選択肢(2)の6.25 Jは、実効値 \(I=50/\sqrt2\fallingdotseq35.4\ \mathrm{A}\) を代入した値です。\(\dfrac{1}{2}\times0.01\times(50/\sqrt2)^{2}=6.25\ \mathrm{J}\)——ちょうど半分になります。
| 選択肢 | 値〔J〕 | 何の値か | 判定 |
| (1) | 2.5 | ダミー | × |
| (2) | 6.25 | 実効値で計算した値（＝平均エネルギー） | ×（最頻誤答） |
| (3) | 12.5 | \(\frac12LI_m^{2}\)（最大値） | ◎ |
| (4) | 25 | \(LI_m^{2}\)（\(1/2\) の掛け忘れ） | × |
| (5) | 125 | 桁違い | × |
6.25 Jは「平均の蓄積エネルギー」としては正しい値です。\(w=12.5\cos^{2}1000t\) の平均は \(12.5\times\dfrac12=6.25\ \mathrm{J}\)——ただし問題が聞いているのは「最大値」です。
⚠️ よくある間違い
問題文の「\(Li^{2}/2\)」の \(i\) は瞬時値です。その最大値を知りたいなら、\(i\) の最大値＝\(I_m\) を入れる——実効値を入れると平均値が出てしまいます。
☝️ ひっかけの作り方：(a) で素子を取り違えると (b) も連鎖して外れます。コンデンサだと思って \(\frac12CV_m^{2}\) を計算すると、まったく違う値になります。位相の判定が全体を支配するので、最初の一歩を慎重に。
深掘り①：選択肢を全部代入して確かめる
(a) は5つの選択肢すべてを検算できます。\(V_m=500\ \mathrm{V}\)、\(\omega=1000\ \mathrm{rad/s}\) で電流の最大値がいくらになるかを並べてみましょう。
| 選択肢 | 素子 | リアクタンス〔Ω〕 | \(I_m=V_m/X\)〔A〕 | 判定 |
| (1) | \(C=10\ \mathrm{nF}\) | \(X_C=10^{5}\) | 0.005 | × |
| (2) | \(C=100\ \mathrm{nF}\) | \(X_C=10^{4}\) | 0.05 | × |
| (3) | \(C=10\ \mu\mathrm{F}\) | \(X_C=100\) | 5 | × |
| (4) | \(L=10\ \mathrm{mH}\) | \(X_L=10\) | 50 | ◎ |
| (5) | \(L=100\ \mathrm{mH}\) | \(X_L=100\) | 5 | × |
電流の最大値が50 Aになるのは(4)だけです。位相を見なくても、大きさだけで正解が絞れる——時間があれば両方から確認すると確実です。
コンデンサの選択肢はどれも電流が小さすぎます。\(\omega=1000\) という比較的低い角周波数では、\(\mu\mathrm{F}\) 級の容量でも \(X_C\) が100 Ω以上になるためです。
深掘り②：コイルのエネルギーは行ったり来たりする
理想コイルは電力を消費しません。それでもエネルギーは蓄えられ、放出される——その出入りを式で追ってみましょう。
\(2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta\)
消費なし
瞬時電力は \(\sin2000t\) の形——電源の2倍の周波数で、プラスとマイナスを行き来します。プラスのときは電源からコイルへ、マイナスのときはコイルから電源へエネルギーが流れます。
この出入りの大きさが無効電力です。\(Q=VI=\dfrac{500}{\sqrt2}\times\dfrac{50}{\sqrt2}=12500\ \mathrm{var}\)——12.5 kvarのエネルギーが毎秒往復しているのに、正味の消費はゼロという不思議な状態です。
| 量 | 値 | 意味 |
| 最大蓄積エネルギー \(W_{\max}\) | 12.5 J | \(i=\pm50\ \mathrm{A}\) のとき |
| 平均蓄積エネルギー | 6.25 J | \(\cos^{2}\) の平均が \(1/2\) |
| 有効電力 \(P\) | 0 W | 理想コイルは消費しない |
| 無効電力 \(Q\) | 12500 var | やり取りの大きさ |
深掘り③：\(L\) と \(C\) の対応表で整理する
コイルとコンデンサは、あらゆる性質が「対」になっています。片方を覚えれば、もう片方は入れ替えるだけです。
| コイル \(L\) | コンデンサ \(C\) | |
| 基本式 | \(v=L\dfrac{di}{dt}\) | \(i=C\dfrac{dv}{dt}\) |
| 位相 | 電流が90°遅れ | 電流が90°進み |
| リアクタンス | \(X_L=\omega L\)（\(f\) に比例） | \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\)（\(f\) に反比例） |
| エネルギー | \(\dfrac12Li^{2}\)（電流で決まる） | \(\dfrac12Cv^{2}\)（電圧で決まる） |
| 直流では | 短絡（ただの導線） | 開放（切れている） |
| 急変できないもの | 電流 | 電圧 |
エネルギーの式で「コイルは電流、コンデンサは電圧」という対応が特に重要です。コイルの電流は急に変えられない（変えようとすると大きな電圧が発生する）、コンデンサの電圧は急に変えられない——過渡現象の問題でもこの性質が主役になります。
本問は \(L\) と \(C\) のどちらかを見分けさせ、そのうえでエネルギーを問う——対応表の理解を2段階で確認する構成になっています。
⏱️ 本番での進め方
❶ まず \(\sin\) にそろえる——\(-\cos\theta=\sin(\theta-90^\circ)\)、\(\cos\theta=\sin(\theta+90^\circ)\)。
❷ 位相で素子を判定——遅れならコイル、進みならコンデンサ。ここで3択が消える。
❸ エネルギーは最大値を代入——実効値だとちょうど半分になる。
❹ 選択肢を代入して \(I_m=50\) を再現できるか確認——30秒でできる検算。
💡 覚え方
\(-\cos\) は「\(\sin\) を90°遅らせたもの」——グラフを思い浮かべれば一目瞭然です。\(\sin\) は0から立ち上がり、\(-\cos\) も0から立ち上がる…のではなく \(-1\) から始まるので、単位円で確認するのが確実です。
出題履歴：素子の判定とエネルギーは定番の組合せ
「波形の式から素子を当てる」問題は、交流の基礎を確認する定番です。そこにエネルギーの計算を重ねることで、B問題としての難度を作っています。どちらも公式ひとつで解けるので、確実に取りたい1問です。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
あわせて解いておきたい記事：【理論】令和7年度上期A問題8（瞬時値と時刻）
まとめ
| 位相 | iはvよりπ/2遅れ→コイルL |
| リアクタンス | XL＝500/50＝10 Ω |
| (a)素子値 | L＝10/1000＝0.01 H＝10 mH …(4) |
| 瞬時エネルギー | wL＝12.5cos²(1000t) J |
| (b)最大値 | Wmax＝12.5 J …(3) |
| 平均電力 | 0 W（理想コイル） |
問題文・回路図・選択肢は試験センター公式問題PDF（理論 問15、印刷ページ-16-）、正答(a)-(4)・(b)-(3)は公式解答PDFで照合しました。
▼あわせて解きたい関連問題
・L・Cの判定・エネルギーの関連問題：【理論】令和7年度上期A問題5
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