単相交流9【電験3種 理論】コイル（L・r直列）を等価な並列回路に変換する！令和6年度上期 A問題13 完全解説

今回は令和6年度上期 理論科目 A問題13を解説します。内部抵抗rをもつコイルの直列等価回路を、高Q近似により並列回路へ変換したときの等価抵抗R_pを求めます。

直列インピーダンスZ_s＝r＋jωLをアドミタンスY_s＝1/Z_sへ変換し、実部と虚部を並列回路へ対応させます。厳密なR_p・L_pを導いた後に、問題文のr≪ωLを適用します。

令和6年度上期 理論科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和6年度上期 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題13

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 令和6年度上期 A問題13

　図1は、静電容量C〔F〕のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。コイルに内部抵抗r〔Ω〕が存在する場合は、インダクタンスL〔H〕と抵抗r〔Ω〕の直列回路として表すことができる。この直列回路は、コイルの抵抗r〔Ω〕が誘導性リアクタンスωL〔Ω〕に比べて十分小さいものとすると、図2のように、等価抵抗R_p〔Ω〕とインダクタンスL〔H〕の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗R_p〔Ω〕の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。

（1）ωL/r　（2）r/(ωL)²　（3）(ωL)²/r　（4）r²/(ωL)　（5）r(ωL)²

出題のポイント：直列形と並列形は「同じインピーダンス」になるよう対応させる

コイルの内部抵抗 \(r\) は、実際には巻線の銅線がもつ抵抗です。回路図では \(L\) と \(r\) の直列として描きますが、共振回路の計算では並列形のほうが扱いやすい場面があります。

「等価」とは、端子から見たインピーダンスが等しいという意味です。直列形の \(\dot Z_s=r+j\omega L\) と、並列形の \(R_p\) ∥ \(j\omega L_p\) が同じ値になるように \(R_p\)、\(L_p\) を決めます。

並列は足し算になるのがアドミタンスの利点です。逆に直列は足し算になるのがインピーダンス——「直列ならZ、並列ならY」と使い分けると、途中式が一気に短くなります。

解説：分母の有理化で実部と虚部を分ける

❹の近似は「\(r^{2}\) が \((\omega L)^{2}\) に比べて無視できる」という意味です。例えば \(r=1\ \Omega\)、\(\omega L=100\ \Omega\) なら、厳密値10001 Ωに対して近似値10000 Ω——誤差はわずか0.01 %です。

虚部からは \(\omega L_p=\dfrac{r^{2}+(\omega L)^{2}}{\omega L}\fallingdotseq\omega L\) となり、\(L_p\fallingdotseq L\) が得られます。だから問題の図2でもインダクタンスは \(L\) のままで描かれているのです。

誤答の正体：単位（次元）を見るだけで3つ消える

\(R_p\) は抵抗ですから、単位は必ずΩです。\(r\) も \(\omega L\) もΩなので、選択肢の式がΩになるかを確かめるだけで大半がふるい落とせます。

選択肢	式	単位	判定
(1)	\(\omega L/r\)	Ω/Ω＝無次元	×
(2)	\(r/(\omega L)^{2}\)	Ω/Ω²＝1/Ω	×
(3)	\((\omega L)^{2}/r\)	Ω²/Ω＝Ω	◎
(4)	\(r^{2}/(\omega L)\)	Ω²/Ω＝Ω	△（次元は合う）
(5)	\(r(\omega L)^{2}\)	Ω×Ω²＝Ω³	×

次元チェックで(1)(2)(5)が即座に消えます。残るのは(3)と(4)——ここからは大小関係で判定します。

(4)の \(r^{2}/(\omega L)\) は、\(r\) が小さいほど小さくなる値です。ところが内部抵抗が小さい（＝良いコイル）ほど、並列等価抵抗は大きくなるのが物理的に正しい姿です。損失が小さいほど「電流が漏れにくい」＝並列抵抗が大きい——この向きから(3)が選べます。

☝️ ひっかけの作り方：数値で確かめるときは \(r=1\) を避けてください。\(r=1\)、\(\omega L=100\) だと(3)も(5)も10000になり、区別がつきません。\(r=2\) にすれば(3)は5002、(5)は20000とはっきり分かれます。

深掘り①：\(Q\) で書き直すと関係が見える

コイルの \(Q\) は \(Q=\omega L/r\) と定義されます。これを使うと \(R_p\) はきれいな形になります。

「並列抵抗は直列抵抗の \(Q^{2}\) 倍」——これが変換の本質です。\(Q=100\) のコイルなら、\(1\ \Omega\) の内部抵抗が \(10000\ \Omega\) の並列抵抗に化けます。

\(Q=\omega L/r\)	例（\(\omega L=100\ \Omega\)）	\(R_p=Q^{2}r\)	コイルの質
10	\(r=10\ \Omega\)	1 kΩ	損失が大きい
100	\(r=1\ \Omega\)	10 kΩ	実用的
1000	\(r=0.1\ \Omega\)	100 kΩ	高品質

\(Q\) が10倍になると \(R_p\) は100倍になります。二乗で効くので、わずかな損失の差が共振回路の性能に大きく響くわけです。

深掘り②：なぜ並列形に直したいのか

図1の回路は、コンデンサ \(C\) と「\(L\)＋\(r\) の直列」が並列になっています。この形のままでは共振周波数の計算が煩雑です。

ところが並列形に直すと、\(C\)・\(R_p\)・\(L\) が全部並列に並びます。並列回路のアドミタンスは単純な足し算なので、虚部がゼロになる条件＝共振条件がすぐ書けます。

共振時にはアドミタンスの虚部が消え、残るのは \(1/R_p\) だけです。つまり回路全体が \(R_p\) の抵抗1個に見える——\(R_p\) が大きいほど共振時のインピーダンスが高くなり、鋭い共振になります。

この \(R_p\) は「等価並列抵抗」と呼ばれ、共振回路の \(Q\) を決める重要な量です。無線機の同調回路やフィルタの設計では必ず登場します。

深掘り③：直列⇄並列変換を一般化する

本問はコイルの例でしたが、コンデンサでも同じ変換が使えます。一般形をまとめておきましょう。

	直列形 \(R_s+jX_s\)	並列形 \(R_p\) ∥ \(jX_p\)
厳密な関係	—	\(R_p=\dfrac{R_s^{2}+X_s^{2}}{R_s}\)、\(X_p=\dfrac{R_s^{2}+X_s^{2}}{X_s}\)
\(Q\) で書くと	\(Q=X_s/R_s\)	\(R_p=(1+Q^{2})R_s\)、\(X_p=\left(1+\dfrac{1}{Q^{2}}\right)X_s\)
\(Q\gg1\) の近似	—	\(R_p\fallingdotseq Q^{2}R_s\)、\(X_p\fallingdotseq X_s\)

\(R_p=(1+Q^{2})R_s\) が厳密式で、\(Q\gg1\) なら \(1\) を落として \(Q^{2}R_s\) になります。本問の「\(r\ll\omega L\)」は「\(Q\gg1\)」と同じことを言っています。

リアクタンスのほうは \(X_p\fallingdotseq X_s\) でほぼ変わらないのがポイントです。だから \(L_p\fallingdotseq L\) と置ける——変換で大きく変わるのは抵抗成分だけだと覚えておけば、計算の見通しが立ちます。

出題履歴：等価回路変換はB問題の下ごしらえ

直列⇄並列の変換は、単独で問われることもあれば、共振や電力計算の途中に組み込まれることもあります。アドミタンスに直して実部・虚部を分ける——この手順は三相交流や電子回路でも使う汎用スキルです。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

あわせて解いておきたい記事：【理論】平成28年度A問題9（直列共振と並列共振の角周波数）／【理論】平成30年度A問題9（並列共振で電源電流が最小）

まとめ

直列形	Zs＝r＋jωL
アドミタンス	Ys＝{r−jωL}/{r²＋(ωL)²}
厳密なRp	{r²＋(ωL)²}/r＝r(1＋Q²)
厳密なLp	L{1＋(r/ωL)²}
高Q近似	Rp≈(ωL)²/r、Lp≈L
令和6年度上期の答え	(3)

問題文・図・選択肢は試験センター公式問題PDF（理論 問13、印刷ページ-14-）、正答(3)は公式解答PDFで照合しました。

▼あわせて解きたい関連問題
・交流回路の等価変換の関連問題：【理論】令和6年度上期B問題17