単相交流12【電験3種 理論】高調波を含むひずみ波交流の電力を求める！令和5年度下期 A問題9 完全解説

今回は令和5年度下期 理論科目 A問題9を解説します。基本波と第3高調波を含む電圧e(t)・電流i(t)から、1周期平均の有効電力〔kW〕を求めます。令和6年度上期A問題9にも同じ問題が出題されています。

ひずみ波の平均電力は、同じ周波数成分どうしの有効電力の和です。最大値で与えられた各次数についてP_n＝V_mnI_mncos(φ_vn−φ_in)/2を計算し、異なる周波数の交差項が平均0になることも確認します。

令和5年度下期 理論科目 A問題9：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和5年度下期 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題9

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 令和5年度下期 A問題9

　次式に示す電圧e〔V〕及び電流i〔A〕による電力の値〔kW〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。e＝100sinωt＋50sin(3ωt−π/6)〔V〕、i＝20sin(ωt−π/6)＋10√3sin(3ωt+π/6)〔A〕

（1）0.95　（2）1.08　（3）1.16　（4）1.29　（5）1.34〔kW〕

出題のポイント：電力になるのは「同じ周波数どうし」だけ

電圧にも電流にも、基本波と第3高調波が混ざっています。これらを掛け合わせると、\(\omega\times\omega\)、\(\omega\times3\omega\)、\(3\omega\times\omega\)、\(3\omega\times3\omega\) の4通りの積ができます。

このうち平均電力に残るのは、同じ周波数どうしの2つだけです。異なる周波数の積は、1周期で平均するとぴったりゼロになります——これが「ひずみ波の電力は各次数の電力の和」という原理です。

\(1/2\) を忘れると答えが2倍になります。最大値 \(V_m\) と実効値 \(V\) は \(V=V_m/\sqrt{2}\) の関係で、\(V_mI_m/2=(V_m/\sqrt2)(I_m/\sqrt2)=VI\)——\(\sqrt2\) が2つで2になると考えれば納得できます。

解説：次数ごとに位相差を取って足す

電圧と電流を次数ごとに整理します。電流の第3高調波が \(10\sqrt3\) と無理数になっているのは、あとで \(\cos60^\circ=1/2\) と掛けてきれいな値にするためです。

次数	電圧の最大値・位相	電流の最大値・位相	位相差 \(\phi_v-\phi_i\)
基本波 \(\omega\)	100 V、\(0\)	20 A、\(-\pi/6\)	\(+\pi/6\)（30°）
第3高調波 \(3\omega\)	50 V、\(-\pi/6\)	\(10\sqrt3\) A、\(+\pi/6\)	\(-\pi/3\)（−60°）

\(\cos\) の中身は「電圧の位相 − 電流の位相」です。基本波は \(0-(-\pi/6)=+\pi/6\)、第3高調波は \(-\pi/6-(+\pi/6)=-\pi/3\)——引き算の順序に注意してください。

ただし \(\cos\) は偶関数なので符号は結果に影響しません。\(\cos(-\pi/3)=\cos(\pi/3)=1/2\)——位相差の絶対値さえ合っていれば正しい電力が出ます。

誤答の正体：どこで \(\cos\) を取り違えるか

選択肢	値〔kW〕	どんな誤りか
(1)	0.95	基本波だけで止める（\(0.87\) に最も近い選択肢）
(2)	1.08	正解
(3)	1.16	位相差の計算を誤る
(4)	1.29	第3高調波の位相差をゼロと誤る（\(866+433=1299\)）
(5)	1.34	力率を掛け忘れる方向の誤り（\(VI=1.48\) に近い）

最も多いのが(4)です。電圧が \(-\pi/6\)、電流が \(+\pi/6\) と書かれているのを見て「どちらも \(\pi/6\) だから同相」と早合点すると、\(\cos0=1\) で \(433\ \mathrm{W}\)——合計1.30 kWとなり(4)を選んでしまいます。

符号が逆なら位相差は足し算になります。\(-\pi/6\) と \(+\pi/6\) の差は \(\pi/3\)（60°）——数直線をイメージすれば間違えません。

☝️ ひっかけの作り方：\(1/2\) を落とすと答えは2倍の2.17 kWです。選択肢にない値が出たら、まず \(1/2\) を疑ってください。「最大値表示なら \(1/2\)、実効値表示ならそのまま」——問題文の式が \(\sin\) の係数で与えられていれば最大値です。

深掘り①：なぜ違う周波数の積は消えるのか

「同じ周波数どうしだけが電力になる」という規則は、三角関数の積和公式から導けます。暗記ではなく理屈で押さえておきましょう。

❶では \(A-B=\theta\) が時間を含まない定数になるため、平均を取っても \(\frac12\cos\theta\) が残ります。これが \(\cos\) 係数（力率）の正体です。

❷では \(A-B=-2\omega t-\theta\) となり、時間の関数のままです。1周期にわたって平均すればプラスとマイナスが打ち消し合ってゼロ——だから交差項は電力に寄与しません。

実際に数値積分で確かめても、1周期の平均は1082.5 Wとなり、\(625\sqrt3\) と完全に一致します。「各次数の和」という扱いが正しいことの裏付けです。

深掘り②：ひずみ波の実効値と総合力率

実効値も「各次数の二乗和の平方根」で求まります。これも交差項が消えることから導かれる性質です。

総合力率0.73は、基本波の力率 \(\cos30^\circ=0.87\) より低くなっています。高調波が皮相電力を押し上げる一方、電力にはあまり貢献しないためです。

高調波は「電流だけ増やして電力にならない」やっかいな存在だと分かります。電線には流れるので発熱し、損失になる——これが高調波対策が重視される理由です。

量	値	備考
基本波の電力 \(P_1\)	\(500\sqrt3\fallingdotseq866\ \mathrm{W}\)	全体の80 %
第3高調波の電力 \(P_3\)	\(125\sqrt3\fallingdotseq217\ \mathrm{W}\)	全体の20 %
合計 \(P\)	\(625\sqrt3\fallingdotseq1083\ \mathrm{W}\)
皮相電力 \(S\)	約1479 V·A	実効値の積
総合力率 \(P/S\)	約0.73	基本波だけなら0.87

深掘り③：ひずみ率という指標

ひずみ波がどれだけ正弦波から外れているかを表すのが「ひずみ率」です。基本波に対する高調波の割合で定義されます。

電流のひずみ率が86.6 %——実際の配電系統ではあり得ないほど大きな値です。試験問題として計算しやすい数値を選んだ結果で、現実の規制値は数 %のオーダーです。

ひずみ率が大きいほど、波形は正弦波から離れます。第3高調波が混ざると、波形の頂点がへこんだり尖ったりします——位相によって形が変わるのが特徴です。

★重要：令和6年度上期にそっくりそのまま再出題された

令和6年度上期A問題9は、本問と完全に同一の問題です。電圧・電流の式も、5つの選択肢も、正答番号(2)までまったく同じ——わずか1年後の再出題でした。

	本問（令和5年度下期 A問題9）	令和6年度上期 A問題9
電圧 \(e\)	\(100\sin\omega t+50\sin(3\omega t-\pi/6)\)	完全に同一
電流 \(i\)	\(20\sin(\omega t-\pi/6)+10\sqrt3\sin(3\omega t+\pi/6)\)	完全に同一
選択肢	0.95／1.08／1.16／1.29／1.34	並びも同じ
正答番号	(2)	(2)

1年しか空けずに、数字ひとつ変えずに出題されたという事実は重いものがあります。直近の過去問こそ最優先で解くべき——この1問がその根拠です。

出題履歴：ひずみ波は電気及び電子計測とも重なる

ひずみ波は、単相交流の枠を超えて出題されます。実効値の測定方法（平均値整流形と真の実効値形の違い）は計測分野、高調波の発生源であるインバータは機械分野——科目をまたいで顔を出すテーマです。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

あわせて解いておきたい記事：【理論】令和6年度上期A問題9（同一問題の再出題）

まとめ

基本波	P1＝500√3＝866.025…W
第3高調波	P3＝125√3＝216.506…W
交差項	異なる周波数のため平均0
合計	P＝625√3＝1082.532…W
令和5年度下期の答え	1.08 kW …(2)

問題文は試験センター公式問題PDF（理論 問9、印刷ページ-11-）、正答(2)は公式解答PDFで照合しました。

▼あわせて解きたい関連問題
・同一問題（令和6年度上期）の解説：【理論】令和6年度上期A問題9