電子の運動6【電験3種 理論】磁界中の荷電粒子に働くローレンツ力から速さと向きを求める！令和4年度下期 A問題12 完全解説

今回は令和4年度下期 理論科目 A問題12を解説します。z軸方向の磁界中で、y軸から60°の向きに発射された負の荷電粒子に働くローレンツ力から、粒子の速さと発射方向（①か②か）を求める問題です。

ローレンツ力の大きさF=|q|vB sinθから速さvを求め、力の向き（x軸正）とフレミングの左手の法則から、負電荷であることに注意して向きを判定します。速度と磁界のなす角の扱いがポイントです。

令和4年度下期 理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和4年度下期 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12

電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 令和4年度下期 A問題12

　図のように、z軸の正の向きに磁束密度B=1.0×10^-3T の平等磁界が存在する真空の空間において、電気量e=-4.0×10^-6Cの荷電粒子がyz平面上をy軸から60°の角度で①又は②の向きに速さv[m/s]で発射された。この瞬間、荷電粒子に働くローレンツ力Fの大きさは1.0×10^-8N、その向きはx軸の正の向きであった。

　荷電粒子の速さvに最も近い値[m/s]とその向きの組合せとして、正しいものを求める。ただし、重力の影響は無視できるものとし、図中の⊙は紙面に対して垂直かつ手前の向きを表す。

荷電粒子の速さvに最も近い値[m/s]とその向きの組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、重力の影響は無視できるものとする。

	速さv[m/s]	向き
(1)	2.5	①
(2)	2.9	①
(3)	5.0	①
(4)	2.9	②
(5)	5.0	②

出題のポイント：大きさは \(\sin\theta\)、向きは外積で決める

この問題は「大きさ」と「向き」の2つを同時に問う——どちらか一方だけでは選択肢が絞りきれません。両方を確実に処理する必要があります。

速度は \(yz\) 平面内で \(y\) 軸から60°です。磁界は \(z\) 軸方向なので、速度と磁界のなす角は \(90^\circ-60^\circ=30^\circ\) になります。

「60°」という数字をそのまま \(\sin\) に入れないことが最大の注意点です。問題文は \(y\) 軸からの角度——磁界からの角度は30°です。

速さ \(v\) を求める：\(\sin30^\circ=0.5\) を使う

別の見方をすると、\(F=|q|v_yB\) です。磁界が \(z\) 方向なので、\(z\) 成分は力に寄与せず、\(y\) 成分だけが効きます。\(v_y=v\cos60^\circ=0.5v\)——同じ結果です。

もし \(\sin60^\circ=0.866\) を使ってしまうと \(v=2.9\ \mathrm{m/s}\)——選択肢(2)(4)がその受け皿になっています。角度の取り方が命です。

向きを決める：\(v\) の \(y\) 成分の符号がすべて

\(\hat y\times\hat z=\hat x\) は右手系の基本です。\(\hat z\times\hat z=0\) なので、速度の \(z\) 成分はまったく力に寄与しません。

電荷が負なので、力の向きは \(\vec v\times\vec B\) と逆になります。力を \(+x\) にするには、\(\vec v\times\vec B\) が \(-x\)——つまり \(v_y<0\) です。

誤答の正体：角度の取り方と向きの2点

選択肢	\(v\)〔m/s〕	向き	どんな誤りか
(1)	2.5	①	大きさも向きも誤り
(2)	2.9	①	\(\sin60^\circ\) を使い、向きも誤り
(3)	5.0	①	大きさは正しいが向きが誤り（最も惜しい）
(4)	2.9	②	\(\sin60^\circ\) を使った
(5)	5.0	②	正解

(3)が最も惜しい誤答です。大きさは正しく5.0 m/sと出せているのに、向きの判定で間違えた——負電荷の符号反転を忘れたケースでしょう。

(2)(4)は \(\sin60^\circ=0.866\) を使ったものです。\(1.0\times10^{-8}\div(4.0\times10^{-6}\times1.0\times10^{-3}\times0.866)=2.89\)——選択肢の2.9とぴたり合います。

☝️ ひっかけの作り方：電荷が \(-4.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}\) と負であることに注意してください。大きさの計算では絶対値を使い、向きの判定では符号を使う——使い分けが必要です。

深掘り①：速度を成分に分けて考える

磁界が \(z\) 方向のとき、速度の \(z\) 成分は力にまったく寄与しません。この事実を使うと、計算がぐっと簡単になります。

速度の成分	大きさ	磁界との関係	力への寄与
\(v_y=v\cos60^\circ\)	\(0.5v\)	磁界に垂直	あり
\(v_z=v\sin60^\circ\)	\(0.866v\)	磁界に平行	なし

\(F=|q|v_yB\) と書けば、\(\sin\theta\) を考える必要すらありません。「磁界に垂直な速度成分だけが力を生む」——これが本質です。

この粒子はこの後どう動くか——\(y\) 成分が円運動、\(z\) 成分が等速直線なので、らせん運動になります。らせんの軸は \(z\) 軸（磁界の方向）です。

深掘り②：外積の計算を確実にする

3次元の外積は、右手系の巡回を覚えれば機械的に計算できます。

外積	結果	備考
\(\hat y\times\hat z\)	\(+\hat x\)	巡回どおり
\(\hat z\times\hat y\)	\(-\hat x\)	逆順なので反転
\(\hat z\times\hat z\)	0	平行だからゼロ

「\(x\to y\to z\to x\)」の順に並んでいれば正、逆なら負——この一言で全部の組合せが決まります。時計回りに \(x, y, z\) を並べた円を思い浮かべると覚えやすいです。

本問では \(\hat y\times\hat z=+\hat x\)。ここに \(v_y\) の符号と電荷の符号（負）が掛かる——2つの符号を追えば向きが決まります。

深掘り③：数値が小さい理由

答えの \(v=5.0\ \mathrm{m/s}\) は、電子の運動としては異常に遅い値です。なぜこんな数字になるのかを考えてみましょう。

本問の電荷は \(4.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}\)——電子1個の電気量 \(1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}\) の \(2.5\times10^{13}\) 倍です。電子ではなく、帯電した微粒子を想定していると考えられます。

	本問の荷電粒子	電子1個
電気量	\(4.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}\)	\(1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}\)
速さ	5.0 m/s	\(10^{6}\sim10^{7}\ \mathrm{m/s}\)
受ける力	\(1.0\times10^{-8}\ \mathrm{N}\)	もっと小さい

問題文も「荷電粒子」と書いていて「電子」とは言っていません。電気量と質量が独立に与えられる設定なので、計算しやすい数値が選ばれています。

物理的な妥当性より計算の見通しを優先した設定ですが、ローレンツ力の式の使い方を確認するには十分です。

出題履歴：向きまで問う出題は近年の傾向

大きさだけでなく向きまで答えさせる形式は、ベクトルとしての理解を確かめるものです。外積の計算か、フレミング左手則か——どちらか一方を確実に使えるようにしておきましょう。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

あわせて解いておきたい記事：【理論】平成30年度A問題12（磁界に平行なら直進）／【理論】平成28年度A問題12（ローレンツ力の導出）

まとめ

なす角θ	30°（sin30°=0.5）
速さ	v=F/(|q|B sinθ)=5.0m/s
向き	②（負電荷）
答え	(5)

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・マグネトロン内の電子の軌跡（電子の運動3）：【理論】令和6年度下期 A問題12