電子の運動7【電験3種 理論】運動エネルギーと速さの関係（v∝√K）から速さを求める！令和4年度上期 A問題12 完全解説

今回は令和4年度上期 理論科目 A問題12を解説します。電子の運動エネルギーが400eVのときの速さから、100eVのときの速さを求める問題です。

運動エネルギー½mv²は速さvの2乗に比例します。つまりv∝√（運動エネルギー）。エネルギーが1/4になれば速さは√(1/4)=1/2になる、という比例関係だけで解けます。

令和4年度上期 理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和4年度上期 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12

電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 令和4年度上期 A問題12

　真空中において、電子の運動エネルギーが400eVのときの速さが1.19×10⁷m/sであった。電子の運動エネルギーが100eVのときの速さ[m/s]の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、電子の相対性理論効果は無視するものとする。

（1）2.98×10⁶
（2）5.95×10⁶
（3）2.38×10⁷
（4）2.98×10⁹
（5）5.95×10⁹

出題のポイント：エネルギーは速さの二乗に比例

運動エネルギーは \(\dfrac{1}{2}mv^{2}\)——速さの二乗に比例します。逆に言えば、速さはエネルギーの平方根に比例します。

本問はこの関係だけで解けます。電気素量や電子の質量といった定数は一切不要——与えられた400 eVと100 eVの比を使うだけです。

\(400\ \mathrm{eV}\to100\ \mathrm{eV}\) はちょうど \(1/4\) です。だから速さは \(\sqrt{1/4}=1/2\)——\(1.19\times10^{7}\div2=5.95\times10^{6}\ \mathrm{m/s}\) が答えになります。

解説：比を取るだけで答えが出る

❷で平方根を取るのを忘れて \(1/4\) 倍としてしまうと、\(2.98\times10^{6}\)——これが選択肢(1)です。最も多い誤答でしょう。

理論値でも確かめられます。\(v=\sqrt{\dfrac{2eW}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times1.602\times10^{-19}\times100}{9.11\times10^{-31}}}\fallingdotseq5.93\times10^{6}\ \mathrm{m/s}\)——比で求めた値とほぼ一致します。

誤答の正体：光速を超える選択肢は物理的にあり得ない

選択肢(4)と(5)は \(10^{9}\ \mathrm{m/s}\) のオーダーです。光速は \(3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}\)——それを超える速さは存在しません。

選択肢	値〔m/s〕	光速との比	判定
(1)	\(2.98\times10^{6}\)	0.01倍	×（\(1/4\) 倍としてしまった）
(2)	\(5.95\times10^{6}\)	0.02倍	◎
(3)	\(2.38\times10^{7}\)	0.08倍	×（2倍としてしまった）
(4)	\(2.98\times10^{9}\)	10倍	×（あり得ない）
(5)	\(5.95\times10^{9}\)	20倍	×（あり得ない）

光速を超える選択肢が2つも用意されているのは親切です。「桁を間違えていないか」を確認する習慣があれば、この2つは即座に消せます。

(3)の \(2.38\times10^{7}\) は、エネルギーが減ったのに速さが増えている——物理的におかしいと気づけます。\(400\to100\ \mathrm{eV}\) と減っているのだから、速さも減るはずです。

☝️ ひっかけの作り方：「相対性理論効果は無視する」という但し書きがあります。速さが光速に近づくと \(\frac12mv^{2}\) が使えなくなるためで、本問の \(10^{6}\sim10^{7}\ \mathrm{m/s}\) なら十分小さいので問題ありません。

深掘り①：電子ボルトという単位

\(\mathrm{eV}\)（電子ボルト）は、電子1個が1 Vの電位差で加速されたときに得るエネルギーです。ジュールに直すと非常に小さな値になります。

エネルギー	ジュール換算	電子の速さ
1 eV	\(1.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}\)	\(5.9\times10^{5}\ \mathrm{m/s}\)
100 eV	\(1.6\times10^{-17}\ \mathrm{J}\)	\(5.9\times10^{6}\ \mathrm{m/s}\)
400 eV	\(6.4\times10^{-17}\ \mathrm{J}\)	\(1.19\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\)
10 keV	\(1.6\times10^{-15}\ \mathrm{J}\)	\(5.9\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\)

エネルギーが100倍になると速さは10倍——この表からも二乗の関係が読み取れます。\(1\ \mathrm{eV}\to100\ \mathrm{eV}\) で \(5.9\times10^{5}\to5.9\times10^{6}\) です。

ブラウン管テレビでは電子を約20 kVで加速していました。そのときの速さは光速の約27 %——このあたりから相対性理論の補正が必要になります。

深掘り②：加速電圧と速さの関係

電子を電圧 \(V\) で加速すると、得るエネルギーはちょうど \(eV\) です。だから \(\mathrm{eV}\) という単位が便利なのです。

\(v\fallingdotseq5.93\times10^{5}\sqrt{V}\) という形は覚えておくと便利です。\(V=100\) なら \(\sqrt{100}=10\) 倍で \(5.93\times10^{6}\)、\(V=400\) なら20倍で \(1.19\times10^{7}\)——本問の数値がそのまま出ます。

電圧が4倍になると速さは2倍——加速電圧を上げても、速さはなかなか増えないということです。光速に近づくほど、増やすのが難しくなります。

深掘り③：比を使う問題の解き方

「AのときBだった。CのときはDはいくつか」という形の問題は、定数を求めずに比だけで解けることが多いです。

関係	比の取り方	例
\(y\propto x\)	\(x\) が \(k\) 倍なら \(y\) も \(k\) 倍	抵抗と電圧
\(y\propto x^{2}\)	\(x\) が \(k\) 倍なら \(y\) は \(k^{2}\) 倍	電流と電力
\(y\propto\sqrt{x}\)	\(x\) が \(k\) 倍なら \(y\) は \(\sqrt{k}\) 倍	エネルギーと速さ（本問）
\(y\propto1/x\)	\(x\) が \(k\) 倍なら \(y\) は \(1/k\) 倍	周波数と容量性リアクタンス

比で解けば、電気素量も電子の質量も覚えている必要がありません。本番では定数が与えられないことも多いので、比の関係を見抜く力が得点に直結します。

逆に、比では解けない問題もあります。絶対値を聞かれている場合や、複数の効果が絡む場合——そのときは定数が問題文に与えられます。

出題履歴：エネルギーと速さの関係は必修

電子の運動エネルギーと速さの関係は、電子理論の最も基本的な関係です。加速電圧から速さを求める、速さからエネルギーを求める——どちらの向きも問われます。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

あわせて解いておきたい記事：【理論】令和6年度上期A問題12（\(v=\sqrt{2eV/m}\) の導出）

★重要：平成20年度A問題12とまったく同じ問題

平成20年度A問題12は、本問と完全に同一の問題です。数値も5つの選択肢の並びも、正答番号(2)まですべて同じ——14年の時を経ての再出題でした。

	平成20年度 A問題12	本問（令和4年度上期 A問題12）
条件	400 eVで \(1.19\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\)	完全に同一
問われるもの	100 eVのときの速さ	完全に同一
選択肢	2.98e6／5.95e6／2.38e7／2.98e9／5.95e9	並びも同じ
正答番号	(2)	(2)

選択肢の並びさえ変えずに再出題されました。当サイトで確認している「完全同一ペア」はこれで7組目です。

あわせて解いておきたい記事：【理論】平成20年度A問題12（完全に同一の問題）

まとめ

関係	K∝v²→v∝√K
エネルギー比	100/400=1/4
速さ比	√(1/4)=1/2
答え	5.95×10⁶m/s（(2)）

▼あわせて解きたい関連問題
・平行平板と電子の速さ（電子の運動2）：【理論】令和7年度上期 A問題12