単相交流17【電験3種 理論】コイルの短絡前後で消費電力が半分になる条件からLを求める！令和4年度上期 A問題8 完全解説

今回は令和4年度上期 理論科目 A問題8を解説します。RとLの回路で、S（Lに並列）を開いたときの消費電力が閉じたときの1/2になるときの、Lを表す式を求める問題です。

S閉でLは短絡されZ＝R（消費電力E²/R）。S開でZ＝√(R²+(ωL)²)。消費電力は抵抗だけで生じるのでP＝E²R/|Z|²。これが半分になる条件からLを求めます。

出題のポイント

令和4年度上期 理論科目 A問題8：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 令和4年度上期 A問題8

　図のように、周波数f〔Hz〕の正弦波交流電圧E〔V〕の電源に、R〔Ω〕の抵抗、インダクタンスL〔H〕のコイルとスイッチSを接続した回路がある。スイッチSが開いているときに回路が消費する電力〔W〕は、スイッチSが閉じているときに回路が消費する電力〔W〕の1/2になった。このとき、L〔H〕の値を表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）2πfR　（2）R/(2πf)　（3）2πf/R　（4）(2πf)²/R　（5）R/(πf)

ポイント解説：S閉でZ＝R、S開でZ＝√(R²+(ωL)²)、電力半分

スイッチSはLに並列。S閉でLは短絡されZ＝R（消費電力P_閉＝E²/R）。S開でZ＝√(R²+(ωL)²)。

消費電力は抵抗だけで生じるのでP＝E²R/|Z|²。S開の電力がS閉の1/2になる条件からLを求めます。

問題の解説

STEP1　電力の比を立てる

$$\frac{P_{開}}{P_{閉}}=\frac{E^2 R/(R^2+(\omega L)^2)}{E^2/R}=\frac{R^2}{R^2+(\omega L)^2}=\frac{1}{2}$$

STEP2　整理する

R²+(ωL)²＝2R² → (ωL)²＝R² → ωL＝R。

STEP3　Lを求める

$$2\pi f L=R\;\Rightarrow\;L=\frac{R}{2\pi f}$$したがって(2)です。

答え：(2)（L＝R/(2πf)）

まとめ

S閉	Z＝R、P＝E2/R
S開	Z＝√(R2+(ωL)2)
半分	(ωL)2＝R2→ωL＝R
答え	L＝R/(2πf) …(2)

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