単相交流29【電験3種 理論】ひずみ波交流電流が抵抗で消費する平均電力を求める！平成29年度 A問題9 完全解説

今回は平成29年度 理論科目 A問題9を解説します。R＝5Ωの抵抗に、ひずみ波交流電流i＝6sinωt＋2sin3ωt〔A〕が流れたときに消費される平均電力P〔W〕を求める問題です。

ひずみ波の電力は各周波数成分ごとに独立に計算して足し合わせます。抵抗だけなので位相は関係なく、基本波と第3高調波それぞれの実効値の二乗和に抵抗Rを掛けるだけです。

出題のポイント

平成29年度 理論科目 A問題9：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 平成29年度 A問題9

　R＝5Ωの抵抗に、ひずみ波交流電流 i＝6sinωt＋2sin3ωt〔A〕が流れた。このとき、抵抗R＝5Ωで消費される平均電力Pの値〔W〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、ωは角周波数〔rad/s〕、tは時刻〔s〕とする。

（1）40　（2）90　（3）100　（4）180　（5）200〔W〕

ポイント解説：ひずみ波電力は各成分の実効値²×Rの和

ひずみ波交流の電力は、周波数の異なる成分どうしでは平均電力を生みません（直交する）。同じ周波数の電圧・電流だけが電力を作ります。抵抗だけの回路なので、各成分の実効値の二乗にRを掛けて足すだけです。

正弦波の実効値は最大値/√2。基本波6sinωtの実効値は6/√2、第3高調波2sin3ωtの実効値は2/√2。P＝R(I₁²＋I₃²)で求まります。

問題の解説

STEP1　各成分の実効値を求める

基本波と第3高調波の実効値は$$I_{1}=\frac{6}{\sqrt2},\qquad I_{3}=\frac{2}{\sqrt2}$$

STEP2　実効値の二乗和

$$I_1^{2}+I_3^{2}=\frac{6^{2}}{2}+\frac{2^{2}}{2}=18+2=20\;[\mathrm{A^2}]$$（これはひずみ波電流の実効値の二乗そのもの）。

STEP3　電力を求める

$$P=R\left(I_1^{2}+I_3^{2}\right)=5\times20=100\;[\mathrm{W}]$$したがって(3)です。

答え：(3)（P＝100W）

まとめ

基本波実効値²	6²/2＝18
第3高調波²	2²/2＝2
実効値²和	20
答え	P＝5×20＝100W …(3)

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