単相交流29【電験3種理論】ひずみ波交流電流が抵抗で消費する平均電力を求める！平成29年度 A問題9 完全解説

2026年7月12日2026年7月28日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）平成29年度 A問題9 ひずみ波が抵抗を流れる！平均電力は何Wか？

今回は平成29年度理論科目 A問題9を解説します。R＝5Ωの抵抗に、ひずみ波交流電流i＝6sinωt＋2sin3ωt〔A〕が流れたときに消費される平均電力P〔W〕を求める問題です。

ひずみ波の電力は各周波数成分ごとに独立に計算して足し合わせます。抵抗だけなので位相は関係なく、基本波と第3高調波それぞれの実効値の二乗和に抵抗Rを掛けるだけです。

平成29年度理論科目 A問題9：問題文と選択肢

電気技術者試験センター公表の公式問題PDF（理論問9）と公式解答PDFを確認しながら進めます。下の問題文画像・選択肢は元のまま保持しています。

電験3種理論科目単相交流平成29年度 A問題9 問題文 — 平成29年度理論科目 A問題9 問題文

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】平成29年度 A問題9

　R＝5Ωの抵抗に、ひずみ波交流電流 i＝6sinωt＋2sin3ωt〔A〕が流れた。このとき、抵抗R＝5Ωで消費される平均電力Pの値〔W〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、ωは角周波数〔rad/s〕、tは時刻〔s〕とする。

（1）40　（2）90　（3）100　（4）180　（5）200〔W〕

出題のポイント：ひずみ波の電力は成分ごとに計算して足す

基本波と第3高調波は周波数が違うので、干渉しません。それぞれが独立に電力を消費すると考えて、最後に足し合わせます。

もう一つの注意点は実効値への換算です。$6\sin\omega t$ の6は最大値——実効値は $6/\sqrt2$ です。最大値のまま2乗すると、答えが2倍になります。

ひずみ波の電力

$$P=I_1^2R+I_3^2R=\left(\frac{6}{\sqrt2}\right)^2R+\left(\frac{2}{\sqrt2}\right)^2R$$

※異なる周波数どうしの積は、1周期にわたって平均するとゼロになります（直交性）。だから成分ごとに独立して計算できます。

平成29年度理論問9の出題ポイント。5Ω抵抗に流れる基本波6sinωtと第3高調波2sin3ωtを実効値化し、二乗和20A²から平均電力100W、正答3を求める図 — 基本波と第3高調波を別々に実効値化し、二乗和20 A²に5 Ωを掛けると平均電力は100 Wです。

解説：2つの成分を別々に計算する

成分	最大値〔A〕	実効値〔A〕	電力 $I^2R$〔W〕
基本波	6	$6/\sqrt2=4.243$	$18\times5=90$
第3高調波	2	$2/\sqrt2=1.414$	$2\times5=10$
合計	—	—	100

$$I_1^2=\left(\frac{6}{\sqrt2}\right)^2=\frac{36}{2}=18$$

❶ 基本波の実効値の2乗
2乗すると $\sqrt2$ が消えて2で割るだけ

$$I_3^2=\left(\frac{2}{\sqrt2}\right)^2=\frac{4}{2}=2$$

❷ 第3高調波

$$P=(18+2)\times5=100\;\mathrm{W}$$

❸ 合計

実効値を求めてから2乗するのではなく、「最大値の2乗を2で割る」と考えると計算が速くなります。$(6/\sqrt2)^2=36/2=18$——$\sqrt2$ を経由する必要がありません。

抵抗だけの回路なので、位相は一切関係ありません。もしコイルやコンデンサがあれば、成分ごとにリアクタンスが違うため計算はもっと複雑になります。本問が抵抗だけなのは、その入門編という位置づけです。

基本波6sinωtと第3高調波2sin3ωtの最大値、実効値、実効値二乗を整理し、5Ω抵抗の平均電力100Wを求めるポイント解説図 — 異なる周波数成分の交差項は時間平均で0。各成分の実効値二乗を加えてから抵抗値を掛けます。

答え$P=100\;\mathrm{W}$　→　選択肢(3)

問題の解説。I1＝6ルート2分の1A、I3＝2ルート2分の1A、実効値二乗和20A²、平均電力100W、正答3を3ステップで示す図 — 基本波18 A²と第3高調波2 A²の和は20 A²。P＝5×20＝100 Wで正答は(3)です。

別解：全体の実効値から一気に求める

ひずみ波の実効値は「各成分の実効値の2乗和の平方根」です。これを使えば、電力も一度に計算できます。

$$I=\sqrt{I_1^2+I_3^2}=\sqrt{18+2}=\sqrt{20}=4.472\;\mathrm{A}$$

❶ 全実効値

$$P=I^2R=20\times5=100\;\mathrm{W}$$

❷ 電力
◎ 同じ答え

どちらの道でも同じ結果になります。「2乗和の平方根」を取ってからまた2乗するので、結局は2乗和を使っている——当然です。

実効値を聞かれる問題もあるので、$I=\sqrt{I_1^2+I_3^2}$ の形も押さえておいてください。直流成分がある場合は、それも含めて2乗和を取ります。

誤答の正体：実効値への換算を忘れる

誤り方	計算	値〔W〕	選択肢
基本波だけで計算	$18\times5$	90	(2)
最大値をそのまま実効値とする	$(36+4)\times5$	200	(5)
正しい計算	$(18+2)\times5$	100	(3) ◎

(2)の90 W は「高調波を忘れた」答えです。第3高調波の寄与は10 W と小さいので、うっかり見落とすと吸い込まれます。問題文に2つの項があることを確認してください。

(5)の200 W は「最大値を実効値と誤った」答え——ちょうど2倍になります。$\sqrt2$ で割る一手を忘れたケースです。

⚠️ よくある間違い
ひずみ波では「最大値の $1/\sqrt2$ が実効値」という関係が全体には成り立ちません。成り立つのは各正弦波成分についてです。合成波の最大値は $6+2=8$ ですが、実効値は $8/\sqrt2=5.66$ ではなく $4.47$ です。

深掘り①：なぜ成分ごとに計算してよいのか

異なる周波数の正弦波を掛けて1周期平均するとゼロになる——これを「直交性」といいます。この性質があるから、成分ごとに独立して扱えます。

$$i^2=(6\sin\omega t+2\sin3\omega t)^2$$

❶ 展開する前

$$=36\sin^2\omega t+4\sin^23\omega t+24\sin\omega t\sin3\omega t$$

❷ 展開
3項目が交差項

$$\overline{\sin\omega t\sin3\omega t}=0$$

❸ 交差項の平均
直交性によりゼロ

交差項が消えるので、残るのは各成分の2乗の平均だけです。$\overline{\sin^2}=1/2$ なので、$\overline{i^2}=36/2+4/2=20$——これが全実効値の2乗になります。

この直交性は、フーリエ級数の基礎でもあります。どんな周期波形も正弦波の重ね合わせで表せて、それぞれが独立に扱える——電力計算がこれほど単純になるのは、直交性のおかげです。

深掘り②：高調波が実務で問題になる理由

高調波は、インバータやパワーエレクトロニクス機器から発生します。電流波形がひずむことで、さまざまな障害を引き起こします。

障害	内容
変圧器の過熱	高調波電流が加わって実効値が増え、損失が増加
コンデンサの焼損	$X_C$ は周波数に反比例＝高調波ほど電流が流れやすい
電圧波形のひずみ	線路インピーダンスで電圧降下が生じ、他の機器に影響
計器の誤差	整流形の計器は正弦波前提なので誤指示する

とくに進相コンデンサは高調波に弱いのが問題です。第5高調波なら $X_C$ は基本波の1/5——同じ電圧でも5倍の電流が流れます。直列リアクトルを入れて保護するのが一般的な対策です。

本問の第3高調波は、電力としては10 W と小さい寄与でした。しかし実務では、こうした成分が積み重なって機器を痛めます。理論科目のこの計算が、電力科目の高調波対策につながっています。

💡 覚え方
「ひずみ波の実効値は2乗和の平方根」——電力も実効値も、この一言で扱えます。直流成分があれば、それも2乗して足すだけです。

⏱️ 本番での進め方
❶ 成分ごとに分けて計算する。周波数が違えば干渉しない。
❷ 最大値の2乗を2で割る。$(6/\sqrt2)^2=18$。$\sqrt2$ を経由しない。
❸ 高調波を見落とさない。寄与が小さくても足す。
❹ 全実効値は2乗和の平方根。$\sqrt{18+2}=\sqrt{20}$。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。