単相交流28【電験3種 理論】誘導性リアクタンスを含む交流回路で電流比から抵抗値を求める！平成29年度 A問題8 完全解説

今回は平成29年度 理論科目 A問題8を解説します。交流電圧E＝100V、誘導性リアクタンスX＝4Ωのコイル、並列のR₁・R₂からなる回路で、全電流I＝20A、電流比I₁:I₂＝1:3のときの抵抗R₁の値〔Ω〕を求める問題です。

R₁とR₂は並列なので、電流比から個々の電流を求め、合成抵抗R_pを電流比で表します。電源から見た|Z|＝√(R_p²＋X²)＝E/Iの関係でR_pを確定し、R₁を逆算します。

出題のポイント

平成29年度 理論科目 A問題8：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 平成29年度 A問題8

　図のように、交流電圧E＝100Vの電源、誘導性リアクタンスX＝4Ωのコイル、R₁〔Ω〕、R₂〔Ω〕の抵抗からなる回路がある。いま、回路を流れる電流の値がI＝20Aであり、また、抵抗R₁に流れる電流I₁〔A〕と抵抗R₂に流れる電流I₂〔A〕との比が、I₁:I₂＝1:3であった。このとき、抵抗R₁の値〔Ω〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1.0　（2）3.0　（3）4.0　（4）9.0　（5）12〔Ω〕

ポイント解説：並列抵抗は電流が抵抗に反比例、|Z|＝√(Rp²+X²)＝E/I

R₁とR₂は同じ電圧がかかる並列接続です。並列では電流は抵抗に反比例するので、I₁:I₂＝1:3ならR₁:R₂＝3:1。全電流I＝20AをI₁:I₂＝1:3で分けるとI₁＝5A、I₂＝15A。

電源から見たインピーダンスは、X（虚部）と合成抵抗R_p（実部）の直列です。|Z|＝√(R_p²＋X²)＝E/I＝5ΩからR_pを求め、R_p＝R₁∥R₂とR₁＝3R₂を連立してR₁を出します。

問題の解説

STEP1　電流を分ける

並列なので電流は抵抗に反比例。I₁:I₂＝1:3より$$I_1=20\times\frac{1}{1+3}=5\,\mathrm{A},\quad I_2=20\times\frac{3}{4}=15\,\mathrm{A}$$電流比の逆比でR₁:R₂＝3:1、つまりR₁＝3R₂。

STEP2　合成抵抗Rpを求める

電源から見た大きさは|Z|＝E/I＝100/20＝5Ω。XとR_pの直列なので$$|Z|=\sqrt{R_p^{2}+X^{2}}=5\ \Rightarrow\ R_p=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3\,\Omega$$

STEP3　R1を求める

R_p＝R₁∥R₂＝R₁R₂/(R₁+R₂)。R₁＝3R₂を代入すると$$R_p=\frac{3R_2\cdot R_2}{3R_2+R_2}=\frac{3R_2}{4}=3\ \Rightarrow\ R_2=4,\ R_1=12\,\Omega$$したがって(5)です。

答え：(5)（R₁＝12Ω）

まとめ

電流分配	I1＝5A,I2＝15A
|Z|	100/20＝5Ω
Rp	√(5²−4²)＝3Ω
答え	R1＝12Ω …(5)

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