単相交流30【電験3種 理論】交流ブリッジの平衡条件と測定できるインピーダンスを求める！平成29年度 B問題15 完全解説

今回は平成29年度 理論科目 B問題15を解説します。未知インピーダンスŻを測定する交流ブリッジで、(a)検出電圧が零となる平衡条件の空白の式と、(b)測定できるRとXの条件を求めるB問題です。

交流ブリッジの平衡は「向かい合う辺のインピーダンスの積が等しい」。R₁とC₁の並列合成インピーダンスとŻの積が、R₂とR₃の積に等しくなります。この関係からŻを解いてR・Xの符号を調べます。

出題のポイント

平成29年度 理論科目 B問題15：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 平成29年度 B問題15

　図は未知のインピーダンスŻ〔Ω〕を測定するための交流ブリッジである。電源の電圧をĖ〔V〕、角周波数をω〔rad/s〕とする。ただし、ω、静電容量C₁〔F〕、抵抗R₁〔Ω〕、R₂〔Ω〕、R₃〔Ω〕は零でないとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）交流検出器Dによる検出電圧が零となる平衡条件を、Ż・R₁・R₂・R₃・ω及びC₁を用いて（　）Ż＝R₂R₃と表すとき、空白に入る式として適切なものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）R₁＋1/(jωC₁)　（2）R₁−1/(jωC₁)　（3）R₁/(1＋jωC₁R₁)　（4）R₁/(1−jωC₁R₁)　（5）√(R₁/(jωC₁))

（b）Ż＝R＋jXとしたとき、この交流ブリッジで測定できるR〔Ω〕とX〔Ω〕の満たす条件として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）R≧0, X≦0　（2）R＞0, X＜0　（3）R＝0, X＞0　（4）R＞0, X＞0　（5）R＝0, X≦0

ポイント解説：交流ブリッジは向かい合う辺のインピーダンスの積が等しい

交流ブリッジの平衡（検出器Dの電圧が零）は、向かい合う辺のインピーダンスの積が等しいときに成立します。図では（R₁∥C₁）とŻが向かい合い、R₂とR₃が向かい合っています。

したがって（R₁∥C₁）ׯ＝R₂×R₃。R₁∥C₁の合成インピーダンスを求めてŻについて解くと、実部R＝R₂R₃/R₁、虚部X＝ωC₁R₂R₃となり、ともに正になります。

問題の解説

STEP1　(a) R1∥C1の合成インピーダンスを求める

R₁とC₁の並列合成は$$\dot Z_1=\frac{R_1\cdot\frac{1}{j\omega C_1}}{R_1+\frac{1}{j\omega C_1}}=\frac{R_1}{1+j\omega C_1 R_1}$$平衡条件（　）Ż＝R₂R₃の空白はこのŻ₁。よって(a)は(3)。

STEP2　(b) 未知インピーダンスŻを求める

平衡条件よりŻ＝R₂R₃/Ż₁。Ż₁を代入して$$\dot Z=\frac{R_2R_3}{R_1}\left(1+j\omega C_1R_1\right)=\frac{R_2R_3}{R_1}+j\,\omega C_1R_2R_3$$

STEP3　(b) RとXの符号を調べる

実部R＝R₂R₃/R₁＞0、虚部X＝ωC₁R₂R₃＞0。ともに正なので、測定できるのはR＞0かつX＞0の範囲。よって(b)は(4)。

答え：(a)-(3)，(b)-(4)

まとめ

平衡条件	(R1∥C1)Ż＝R2R3
Ż1＝R1∥C1	R1/(1+jωC1R1) …(a)(3)
Ż	R2R3/R1＋jωC1R2R3
答え	R>0,X>0 …(b)(4)

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