単相交流32【電験3種理論】RLC直並列回路の直列共振・並列共振の角周波数を求める！平成28年度 A問題9 完全解説

2026年7月12日2026年7月28日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）平成28年度 A問題9 直列共振と並列共振が両方ある！角周波数を求めよ

今回は平成28年度理論科目 A問題9を解説します。R＝1Ω、L₁＝0.4mH、L₂＝0.2mH、C＝8μFからなる直並列回路に交流電圧V＝100Vを加えたとき、インピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数ω₁と、極めて大きくなる並列共振角周波数ω₂の組合せを求める問題です。

並列部（L₂とC）が並列共振するとインピーダンスが最大になり、電源から見たインピーダンスも極大（ω₂）。一方、回路全体のリアクタンスが打ち消し合うと直列共振でインピーダンス極小（ω₁）。それぞれの条件式を立てます。

平成28年度理論科目 A問題9：問題文と選択肢

電気技術者試験センター公表の公式問題PDF（理論問9）と公式解答PDFを確認しながら進めます。下の問題文画像・選択肢・回路図は元のまま保持しています。

電験3種理論科目単相交流平成28年度 A問題9 問題文 — 平成28年度理論科目 A問題9 問題文

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】平成28年度 A問題9

　図のように、R＝1Ωの抵抗、インダクタンスL₁＝0.4mH、L₂＝0.2mHのコイル、及び静電容量C＝8μFのコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧V＝100Vを加えたとき、回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数ω₁〔rad/s〕の値、及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数ω₂〔rad/s〕の値の組合せとして、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

ω₁〔rad/s〕 ω₂〔rad/s〕
(1) 2.5×10⁴ 3.5×10³
(2) 2.5×10⁴ 3.1×10⁴
(3) 3.5×10³ 2.5×10⁴
(4) 3.1×10⁴ 3.5×10³
(5) 3.1×10⁴ 2.5×10⁴

	ω₁〔rad/s〕	ω₂〔rad/s〕
(1)	2.5×10⁴	3.5×10³
(2)	2.5×10⁴	3.1×10⁴
(3)	3.5×10³	2.5×10⁴
(4)	3.1×10⁴	3.5×10³
(5)	3.1×10⁴	2.5×10⁴

出題のポイント：並列共振は「並列部だけ」、直列共振は「回路全体」

並列共振角周波数 $\omega_2$ は、並列部の $L_2$ と $C$ だけで決まります。$L_1$ は無関係——$\omega_2=1/\sqrt{L_2C}$ です。

直列共振角周波数 $\omega_1$ は、回路全体のリアクタンスがゼロになる条件です。$L_1$ も効いてくるので、計算がひと手間増えます。

2つの共振

$$\omega_2=\frac{1}{\sqrt{L_2C}}\;(\text{並列部のみ})\qquad\omega_1^2=\frac{1+L_1/L_2}{L_1C}\;(\text{回路全体})$$

※並列共振ではインピーダンスが極大、直列共振では極小になります。$\omega_1>\omega_2$ が常に成り立ちます。

平成28年度理論問9の出題ポイント。1Ω抵抗と0.4mHコイルに0.2mHコイルと8μFコンデンサの並列部が直列接続された回路、直列共振3.1×10の4乗、並列共振2.5×10の4乗、正答5を示す図 — 並列共振ω₂はL₂とCだけで決まり、直列共振ω₁はL₁と並列部のリアクタンスが打ち消し合う条件で決まります。

並列共振 $\omega_2$ を求める

$$\omega_2=\frac{1}{\sqrt{L_2C}}=\frac{1}{\sqrt{0.2\times10^{-3}\times8\times10^{-6}}}$$

❶ 並列部だけ
$L_1$ は使わない

$$L_2C=1.6\times10^{-9}=16\times10^{-10}\;\Longrightarrow\;\sqrt{L_2C}=4\times10^{-5}$$

❷ 指数を偶数に
$\sqrt{}$ が開ける形にする

$$\omega_2=\frac{1}{4\times10^{-5}}=2.5\times10^4\;\mathrm{rad/s}$$

❸ 逆数

$1.6\times10^{-9}$ を $16\times10^{-10}$ と書き換えるのがコツです。指数を偶数にすれば、平方根がきれいに開けます。

直列共振 $\omega_1$ を求める

並列部のインピーダンスを求めてから、$L_1$ と合わせてリアクタンスをゼロにします。並列部はアドミタンスで扱うのが確実です。

$$\dot Y_p=j\omega C+\frac{1}{j\omega L_2}=j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L_2}\right)$$

❶ 並列部のアドミタンス
抵抗がないので純虚数

$$\dot Z_p=\frac{1}{\dot Y_p}=\frac{-j}{\omega C-\frac{1}{\omega L_2}}$$

❷ 逆数

$$\omega L_1-\frac{1}{\omega C-\frac{1}{\omega L_2}}=0$$

❸ 全体の虚部をゼロに

$$\omega^2L_1C-\frac{L_1}{L_2}=1\;\Longrightarrow\;\omega_1^2=\frac{1+L_1/L_2}{L_1C}$$

❹ 整理

$L_1/L_2=0.4/0.2=2$、$L_1C=0.4\times10^{-3}\times8\times10^{-6}=3.2\times10^{-9}$ なので、$\omega_1^2=3/(3.2\times10^{-9})=9.375\times10^8$——$\omega_1=3.06\times10^4\;\mathrm{rad/s}$ です。

$\omega_1>\omega_2$ になっています。直列共振のほうが必ず高い周波数——この大小関係を知っていれば、選択肢が半分に絞れます。

並列部L2とCのインピーダンス、並列共振条件、回路全体の直列共振条件を順に導出し、ω1がω2より大きいことを示すポイント解説図 — Zₚ＝jωL₂/(1－ω²L₂C)。並列共振では分母が0、直列共振ではL₁と並列部のリアクタンス和が0です。

答え$\omega_1\approx3.1\times10^4$、$\omega_2=2.5\times10^4\;\mathrm{rad/s}$　→　選択肢(5)

平成28年度理論問9の問題解説。並列共振ω2を2.5×10の4乗、直列共振条件からω1を3.1×10の4乗rad毎秒と求め、正答5を示す図 — (ω₁,ω₂)＝(3.1×10⁴,2.5×10⁴) rad/sとなるため正答は(5)です。

誤答の正体：$\omega_1$ と $\omega_2$ を逆にする

	選択肢の組合せ	判定
(2)	$\omega_1=2.5\times10^4$、$\omega_2=3.1\times10^4$	× 逆になっている
(5)	$\omega_1=3.1\times10^4$、$\omega_2=2.5\times10^4$	◎ 正解

(2)と(5)は値が同じで順序だけが逆です。「どちらが直列共振か」を確認しないと、五分五分の賭けになってしまいます。

覚え方は「並列部だけで決まるのが並列共振」です。$L_2$ と $C$ だけなら $2.5\times10^4$——これが $\omega_2$ です。$L_1$ が加わると周波数が上がって $\omega_1$ になります。

⚠️ よくある間違い
$\omega_1$ の計算式を丸暗記しようとしないでください。「全体のリアクタンスをゼロにする」という条件から毎回導くほうが確実です。並列部のインピーダンスを求める一手を丁寧にやってください。

深掘り①：なぜ $\omega_1>\omega_2$ なのか

並列部のインピーダンスの振る舞いを考えると分かります。$\omega<\omega_2$ では誘導性、$\omega>\omega_2$ では容量性になります。

周波数	並列部の性質	$L_1$ と合わせると
$\omega<\omega_2$	誘導性	$L_1$ も誘導性なので打ち消せない
$\omega=\omega_2$	無限大（開放）	インピーダンス極大
$\omega>\omega_2$	容量性	$L_1$ と打ち消し合える → 直列共振

$L_1$（誘導性）を打ち消すには、並列部が容量性でなければなりません。並列部が容量性になるのは $\omega>\omega_2$ の領域——だから $\omega_1>\omega_2$ になります。

この論法なら計算する前に大小関係が分かります。選択肢を(2)と(5)の二択に絞ってから、どちらかを計算すれば十分です。

深掘り②：2つの共振を持つ回路の周波数特性

周波数	回路のインピーダンス	状態
低周波	大きい	$C$ が電流を通さない
$\omega_2$（並列共振）	極大（理論上は無限大）	並列部が開放
$\omega_1$（直列共振）	極小（$=R$）	全体のリアクタンスがゼロ
高周波	大きい	$L_1$ が電流を通さない

山と谷が1つずつある特性になります。$\omega_2$ で山（阻止）、$\omega_1$ で谷（通過）——この2つの周波数の間で急激に変化します。

この特性はフィルタとして利用されます。特定の周波数だけを阻止し、別の周波数だけを通す——高調波対策のフィルタや、通信機の帯域制限に使われる構成です。

💡 覚え方
「並列共振は並列部だけ、直列共振は全体」——どちらの共振を聞かれているかで、使う素子が変わります。回路図で並列部がどこかを確認してください。

⏱️ 本番での進め方
❶ 並列共振は並列部だけ。$L_2$ と $C$ で $1/\sqrt{L_2C}$。
❷ 直列共振は全体のリアクタンスをゼロに。並列部のインピーダンスを経由する。
❸ $\omega_1>\omega_2$。これで選択肢が半分になる。
❹ 指数を偶数にしてから $\sqrt{}$。$1.6\times10^{-9}=16\times10^{-10}$。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

まとめ

並列共振ω₂	1/√(L₂C)＝2.5×10⁴
直列共振条件	ω₁²L₁C＝1+L₁/L₂＝3
ω₁	√(3/(L₁C))≒3.1×10⁴
答え	(3.1×10⁴,2.5×10⁴)…(5)

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