単相交流37【電験3種 理論】LC直列共振回路を直列接続したときの共振周波数の大小は？平成26年度 A問題9 完全解説

今回は平成26年度 理論科目 A問題9を解説します。LC直列共振回路A（共振f_A）とB（共振f_B）を直列接続したときの合成共振周波数f_ABについて、f_A・f_B・f_ABの大小関係を求める問題です。

LC直列共振の周波数はf＝1/(2π√(LC))。直列接続するとインダクタンスは和、静電容量は直列合成になります。LとCの積が大きいほど共振周波数は低くなる点がポイントです。

出題のポイント

平成26年度 理論科目 A問題9：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 平成26年度 A問題9

　図のように、二つのLC直列共振回路A、Bがあり、それぞれの共振周波数がf_A〔Hz〕、f_B〔Hz〕である。これらA、Bをさらに直列に接続した場合、全体としての共振周波数がf_AB〔Hz〕になった。f_A、f_B、f_ABの大小関係として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）f_A＜f_B＜f_AB　（2）f_A＜f_AB＜f_B　（3）f_AB＜f_A＜f_B　（4）f_AB＜f_B＜f_A　（5）f_B＜f_AB＜f_A

ポイント解説：直列接続でLは和・Cは直列合成、f＝1/(2π√(LC))

LC直列共振の周波数はf＝1/(2π√(LC))。回路A（L,C）と回路B（2L,C）をさらに直列接続すると、インダクタンスは和L＋2L＝3L、静電容量は直列合成C·C/(C+C)＝C/2になります。

LとCの積が大きいほど共振周波数は低くなります。各回路のLC積を比べて大小を判定します。

問題の解説

STEP1　fAとfBを比べる

f_A＝1/(2π√(LC))、f_B＝1/(2π√(2L·C))＝f_A/√2。よってf_B＜f_A。

STEP2　fABを求める

直列接続でL_AB＝3L、C_AB＝C/2。L_AB·C_AB＝3L×C/2＝1.5LC。$$f_{AB}=\frac{1}{2\pi\sqrt{1.5LC}}=\frac{f_A}{\sqrt{1.5}}\approx0.82f_A$$

STEP3　大小関係を決める

f_B＝f_A/√2≒0.71f_A、f_AB≒0.82f_A、f_A＝f_A。よってf_B＜f_AB＜f_Aで(5)です。

答え：(5)（f_B＜f_AB＜f_A）

まとめ

fA	1/(2π√(LC))
fB	fA/√2≒0.71fA
fAB	fA/√1.5≒0.82fA
答え	fB＜fAB＜fA …(5)

▼あわせて解きたい関連問題
・同型のLC共振問題：【理論】令和6年度上期A問題8