電子の運動15【電験3種理論】磁界中の電子の円運動（半径r・周期T・角周波数ω）を計算する！平成24年度 A問題12 完全解説

2026年7月14日2026年8月1日

電験3種理論科目電子理論（電子の運動）平成24年度 A問題12 電子が描く円の半径は？周期と角周波数も求める

今回は平成24年度理論科目 A問題12を解説します。一様な磁界中に置いた電子が電磁力を受けて円運動するとき、磁界の向き・円の半径r・周期T・角周波数ωを求める計算問題です。

磁界の電磁力F_A=Bevが向心力となり、遠心力F_B=m₀v²/rと釣り合って等速円運動になります。この釣合いから半径r=m₀v/(eB)、周期T=2πr/v=2πm₀/(eB)、角周波数ω=v/r=eB/m₀が求まります。

平成24年度理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目電子の運動平成24年度 A問題12 問題文 — 平成24年度理論科目 A問題12 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成24年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12

電験3種理論科目【電子理論（電子の運動）】平成24年度 A問題12

　次の文章は、図に示す「磁界中における電子の運動」に関する記述である。

　真空中において、磁束密度B[T]の一様な磁界が紙面と平行な平面の(ア)へ垂直に加わっている。ここで、平面上の点aに電荷-e[C]、質量m₀[kg]の電子をおき、図に示す向きに速さv[m/s]の初速度を与えると、電子は初速度の向き及び磁界の向きのいずれに対しても垂直で図に示す向きの電磁力F_A[N]を受ける。この力のために電子は加速度を受けるが速度の大きさは変わらないので、その方向のみが変化する。したがって、電子はこの平面上で時計回りに速さv[m/s]の円運動をする。この円の半径をr[m]とすると、電子の運動は、磁界が電子に作用する電磁力の大きさF_A=Bev[N]と遠心力F_B=(m₀/r)v²[N]とが釣り合った円運動であるので、その半径はr=(イ)[m]と計算される。したがって、この円運動の周期はT=(ウ)[s]、角周波数はω=(エ)[rad/s]となる。

　ただし、電子の速さv[m/s]は、光速より十分小さいものとする。また、重力の影響は無視できるものとする。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(ア) (イ) (ウ) (エ)
(1) 裏からおもて m₀v/(eB²) 2πm₀/(eB) eB/m₀
(2) おもてから裏 m₀v/(eB) 2πm₀/(eB) eB/m₀
(3) おもてから裏 m₀v/(eB) 2πm₀/(e²B) 2e²B/m₀
(4) おもてから裏 2m₀v/(eB) 2πm₀/(eB²) eB²/m₀
(5) 裏からおもて m₀v/(2eB) πm₀/(eB) eB/m₀

	(ア)	(イ)	(ウ)	(エ)
(1)	裏からおもて	m₀v/(eB²)	2πm₀/(eB)	eB/m₀
(2)	おもてから裏	m₀v/(eB)	2πm₀/(eB)	eB/m₀
(3)	おもてから裏	m₀v/(eB)	2πm₀/(e²B)	2e²B/m₀
(4)	おもてから裏	2m₀v/(eB)	2πm₀/(eB²)	eB²/m₀
(5)	裏からおもて	m₀v/(2eB)	πm₀/(eB)	eB/m₀

出題のポイント：釣り合いの式1本から3つの量が出る

ローレンツ力と遠心力が釣り合う——この式1本から、半径・周期・角周波数の3つが全部導けます。公式を3つ覚える必要はありません。

(ア)の磁界の向きは、図から読み取ります。電子が時計回りに回るためには、磁界がどちら向きでなければならないか——フレミング左手則（電流は速度と逆）で判定します。

釣り合いの式がすべての出発点

$$Bev=\frac{m_0v^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{m_0v}{eB}$$

※左辺が磁界からの力、右辺が円運動に必要な向心力。$v$ が1つ約分されます。

周期は「1周の長さ ÷ 速さ」、角周波数は $2\pi/T$——半径さえ出れば、あとは機械的です。

GPT Image 2で作成した磁界中の電子の時計回り円運動。点aで速度は下向き、電磁力は中心へ左向き、磁界はおもてから裏の⊗ — 電子は負電荷です。点aで下向きの速度と左向きの力になる磁界は、おもてから裏（紙面の奥向き、⊗）です。

解説：4つの空欄を順に埋める

$$(\text{ア})\quad \text{電子が時計回り}\ \Rightarrow\ \text{磁界は【おもてから裏】}$$

❶ 図から判定
記号は $\otimes$

$$(\text{イ})\quad Bev=\frac{m_0v^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{m_0v}{eB}$$

❷ 半径
$v$ が1つ残る

$$(\text{ウ})\quad T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m_0}{eB}$$

❸ 周期
$v$ が完全に消える

$$(\text{エ})\quad \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{eB}{m_0}$$

❹ 角周波数
非常にシンプル

❶では「点aで下向きの速度・左向きの力」という図の情報を使います。電子は負電荷なので電流は上向き——左手則を当てると、磁界は紙面の奥向き（おもてから裏、$\otimes$）と決まります。

❸で $v$ が完全に消えるのが最大の見どころです。周期は速さによらない——速い電子は大きな円を描くので、1周にかかる時間は同じになります。

❹の $\omega=\dfrac{eB}{m_0}$ は「サイクロトロン角周波数」と呼ばれます。磁束密度と電荷質量比だけで決まる——加速器の設計で最も重要な量です。

GPT Image 2で作成した円運動半径の導出。電磁力Bevと向心力m₀v²/rを等しくしてr=m₀v/(eB)を求める — 磁界の力が向心力の役割をします。Bev=m₀v²/rをrについて解き、両辺のvを約分するとr=m₀v/(eB)です。

GPT Image 2で作成した周期と角周波数の導出。T=2πr/vからT=2πm₀/(eB)、ω=2π/Tからω=eB/m₀を求める — 円周2πrを速さvで割ると周期Tです。rを代入するとvが消え、Tとωはどちらも電子の速さに依存しません。

答え(ア) おもてから裏、(イ) $\dfrac{m_0v}{eB}$、(ウ) $\dfrac{2\pi m_0}{eB}$、(エ) $\dfrac{eB}{m_0}$　→　選択肢(2)

誤答の正体：指数の位置で見分ける

選択肢	(ア)	(イ)	(ウ)	(エ)	どこが誤りか
(1)	裏からおもて	$m_0v/(eB^{2})$	$2\pi m_0/(eB)$	$eB/m_0$	(ア)(イ)が誤り
(2)	おもてから裏	$m_0v/(eB)$	$2\pi m_0/(eB)$	$eB/m_0$	正解
(3)	おもてから裏	$m_0v/(eB)$	$2\pi m_0/(e^{2}B)$	$2e^{2}B/m_0$	(ウ)(エ)が誤り
(4)	おもてから裏	$2m_0v/(eB)$	$2\pi m_0/(eB^{2})$	$eB^{2}/m_0$	(イ)(ウ)(エ)が誤り
(5)	裏からおもて	$m_0v/(2eB)$	$\pi m_0/(eB)$	$eB/m_0$	(ア)(イ)(ウ)が誤り

$B$ や $e$ が二乗になっている選択肢は、次元チェックで消せます。$r$ はメートル、$T$ は秒——指数が1つ違うだけで単位が合わなくなります。

(5)の $\pi m_0/(eB)$ は周期が半分です。半周にかかる時間——1周ではありません。$T=2\pi r/v$ の $2\pi$ を忘れた形です。

⚠️ よくある間違い
(ア)の磁界の向きは、必ず図から判定してください。「時計回り」と書いてあるだけでは決まりません——速度の向きと力の向きの両方が必要です。

☝️ ひっかけの作り方：電子は負電荷なので、フレミング左手則を使うときは電流を速度と逆向きに取ります。この反転を忘れると、磁界の向きが逆になり(1)や(5)を選んでしまいます。

深掘り①：サイクロトロン角周波数の意味

$\omega=\dfrac{eB}{m_0}$ は、電子の速さにも半径にも関係しません。磁束密度だけで決まる——この性質が加速器を可能にしました。

$$\omega=\frac{eB}{m_0},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{eB}{2\pi m_0}$$

❶ 角周波数と周波数

$$B=1\ \mathrm{mT}\ \Rightarrow\ f=\frac{1.6\times10^{-19}\times10^{-3}}{2\pi\times9.11\times10^{-31}}\fallingdotseq28\ \mathrm{MHz}$$

❷ 数値例

$B=1\ \mathrm{mT}$ で約28 MHz——電波でいえば短波帯です。磁束密度に比例するので、$B=1\ \mathrm{T}$ なら28 GHz になります。

磁束密度	電子のサイクロトロン周波数	電磁波でいうと
$1\ \mathrm{mT}$	約28 MHz	短波
$0.1\ \mathrm{T}$	約2.8 GHz	マイクロ波（電子レンジ帯）
$1\ \mathrm{T}$	約28 GHz	ミリ波

電子レンジのマグネトロンは、まさにこの周波数（2.45 GHz）で動作します。磁束密度を約0.1 Tに設定すれば、電子の回転周波数がマイクロ波の周波数と一致します。

深掘り②：半径から質量を測る

$r=\dfrac{m_0v}{eB}$ を $m_0$ について解けば、質量が測れます。これが質量分析器の原理です。

$$m_0=\frac{erB}{v}$$

❶ 質量を求める式

$$\text{同じ}\ v,\ B\ \text{なら}\ m_0\propto r$$

❷ 半径が質量に比例
重いほど大回り

同じ速さ・同じ磁界なら、重い粒子ほど大きな円を描きます。だから曲がり方を見れば質量が分かる——同位体の分離や物質の分析に使われています。

速度をそろえるには、前段に「速度選別器」を置きます。電界と磁界を直交させて $v=E/B$ の粒子だけを通す——電子の運動の応用が組み合わさっています。

深掘り③：円運動の3つの量をまとめる

半径・周期・角周波数がそれぞれ何に依存するかを、表で確実に押さえておきましょう。

量	式	$v$ に依存?	$B$ に依存?	$m$ に依存?
半径 $r$	$m_0v/(eB)$	する（比例）	する（反比例）	する（比例）
周期 $T$	$2\pi m_0/(eB)$	しない	する（反比例）	する（比例）
角周波数 $\omega$	$eB/m_0$	しない	する（比例）	する（反比例）

速さに依存するのは半径だけ——周期も角周波数も速さによりません。この一点を覚えておけば、選択肢に $v$ が残っているものを即座に消せます。

磁束密度を強くすると、半径は小さく、周期は短く、角周波数は高くなります。「強い磁界ほど小さく速く回る」——直感とも一致します。

⏱️ 本番での進め方
❶ $Bev=m_0v^{2}/r$ の1本から3つ全部出る——公式を3つ覚えない。
❷ $T$ と $\omega$ に $v$ は入らない——残っていたら誤り。
❸ 電子なら電流は速度と逆——左手則を当てる前に反転。
❹ $B$ や $e$ の二乗は次元で消える——単位チェックが有効。

💡 覚え方
「速い電子は大回りするので、1周の時間は同じ」——半径と速さが同じ割合で増えるからです。この一文で $T$ と $\omega$ に $v$ が入らない理由が説明できます。