電子の運動15【電験3種 理論】磁界中の電子の円運動（半径r・周期T・角周波数ω）を計算する！平成24年度 A問題12 完全解説

今回は平成24年度 理論科目 A問題12を解説します。一様な磁界中に置いた電子が電磁力を受けて円運動するとき、磁界の向き・円の半径r・周期T・角周波数ωを求める計算問題です。

磁界の電磁力F_A=Bevが向心力となり、遠心力F_B=m₀v²/rと釣り合って等速円運動になります。この釣合いから半径r=m₀v/(eB)、周期T=2πr/v=2πm₀/(eB)、角周波数ω=v/r=eB/m₀が求まります。

出題のポイント

平成24年度 理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 平成24年度 A問題12

　次の文章は、図に示す「磁界中における電子の運動」に関する記述である。

　真空中において、磁束密度B[T]の一様な磁界が紙面と平行な平面の(ア)へ垂直に加わっている。ここで、平面上の点aに電荷-e[C]、質量m₀[kg]の電子をおき、図に示す向きに速さv[m/s]の初速度を与えると、電子は初速度の向き及び磁界の向きのいずれに対しても垂直で図に示す向きの電磁力F_A[N]を受ける。この力のために電子は加速度を受けるが速度の大きさは変わらないので、その方向のみが変化する。したがって、電子はこの平面上で時計回りに速さv[m/s]の円運動をする。この円の半径をr[m]とすると、電子の運動は、磁界が電子に作用する電磁力の大きさF_A=Bev[N]と遠心力F_B=(m₀/r)v²[N]とが釣り合った円運動であるので、その半径はr=(イ)[m]と計算される。したがって、この円運動の周期はT=(ウ)[s]、角周波数はω=(エ)[rad/s]となる。

　ただし、電子の速さv[m/s]は、光速より十分小さいものとする。また、重力の影響は無視できるものとする。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	(ア)	(イ)	(ウ)	(エ)
(1)	裏からおもて	m₀v/(eB²)	2πm₀/(eB)	eB/m₀
(2)	おもてから裏	m₀v/(eB)	2πm₀/(eB)	eB/m₀
(3)	おもてから裏	m₀v/(eB)	2πm₀/(e²B)	2e²B/m₀
(4)	おもてから裏	2m₀v/(eB)	2πm₀/(eB²)	eB²/m₀
(5)	裏からおもて	m₀v/(2eB)	πm₀/(eB)	eB/m₀

ポイント解説：Bev=m₀v²/rの釣合いでr=m₀v/(eB)、T=2πm₀/(eB)、ω=eB/m₀

(ア) 電子（負電荷）が時計回りに回るように図の向きの電磁力F_Aを受けることから、フレミング左手の法則で磁界の向きを判定すると、磁界は紙面のおもてから裏へ向く。

(イ)(ウ)(エ) 電磁力F_A=Bevが向心力、遠心力F_B=m₀v²/rが釣り合う：Bev=m₀v²/r。これを解いて半径r=m₀v/(eB)。周期はT=2πr/v=2π(m₀v/(eB))/v=2πm₀/(eB)。角周波数はω=v/r=v/(m₀v/(eB))=eB/m₀。よって(ア)おもてから裏・(イ)m₀v/(eB)・(ウ)2πm₀/(eB)・(エ)eB/m₀の(2)。

問題の解説

STEP1　(ア) 磁界の向き

電子が図の向きの力を受けて時計回りに回る。フレミング左手の法則（電子は電流と逆向き）より、磁界はおもてから裏。

STEP2　(イ) 半径r

電磁力Bev＝遠心力m₀v²/r。両辺を整理してr=m₀v/(eB)。

STEP3　(ウ)(エ) 周期と角周波数

T=2πr/v=2πm₀/(eB)。ω=v/r=eB/m₀（＝2π/T）。よって(2)。

答え：(2)

まとめ

(ア)	おもてから裏
(イ)	r=m₀v/(eB)
(ウ)	T=2πm₀/(eB)
(エ)	ω=eB/m₀
答え	(2)

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