電子の運動16【電験3種理論】真空中の電子の等加速度運動（速度・距離・運動エネルギーの時間変化）を判別する！平成23年度 A問題12 完全解説

2026年7月14日2026年8月2日

電験3種理論科目電子理論（電子の運動）平成23年度 A問題12 時間とともに変わる速度と距離！正しい関係はどれ？

今回は平成23年度理論科目 A問題12を解説します。x軸負方向の一様な電界中に置いた電子の運動方程式・速度・走行距離・運動エネルギーが、時間tに対してどう変化するかを問う問題です。

電界が負方向、電子の電荷が-eなので力はeEとなり運動方程式はm₀a=eE。等加速度運動なので速度は時間の1次関数、距離は2次関数、運動エネルギーは時間の2乗で増加します。

平成23年度理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目電子の運動平成23年度 A問題12 問題文 — 平成23年度理論科目 A問題12 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成23年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12

電験3種理論科目【電子理論（電子の運動）】平成23年度 A問題12

　次の文章は、真空中における電子の運動に関する記述である。

　図のように、x軸上の負の向きに大きさが一定の電界E[V/m]が存在しているとき、x軸上に電荷が-e[C]（eは電荷の絶対値）、質量m₀[kg]の1個の電子を置いた場合を考える。x軸の正方向の電子の加速度をa[m/s²]とし、また、この電子に加わる力の正方向をx軸の正方向にとったとき、電子の運動方程式はm₀a=(ア)…①となる。①式から電子は等加速度運動をすることがわかる。したがって、電子の初速度を零としたとき、x軸の正方向に向かう電子の速度v[m/s]は時間t[s]の(イ)関数となる。また、電子の走行距離x_dis[m]は時間t[s]の(ウ)関数で表される。さらに、電子の運動エネルギーは時間t[s]の(エ)で増加することがわかる。

　ただし、電子の速度v[m/s]はその質量の変化が無視できる範囲とする。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(ア) (イ) (ウ) (エ)
(1) eE 一次二次 1乗
(2) ½eE 二次一次 1乗
(3) eE² 一次二次 2乗
(4) ½eE 二次一次 2乗
(5) eE 一次二次 2乗

	(ア)	(イ)	(ウ)	(エ)
(1)	eE	一次	二次	1乗
(2)	½eE	二次	一次	1乗
(3)	eE²	一次	二次	2乗
(4)	½eE	二次	一次	2乗
(5)	eE	一次	二次	2乗

出題のポイント：負電荷の力の向きから等加速度を確定する

GPT Image 2で作成した電界と電子の力の向きの解説。左向き電界E、負電荷−eの電子、右向きの力F=eE、一定加速度a=eE/m₀を示す — 電子は負電荷なので、電気力は電界と反対の+x方向です。m₀a=eEより加速度は一定となります。

電界はx軸の負方向、電子の電荷は−eなので、電子に働く電気力はx軸の正方向で大きさはeEです。したがってm₀a=eE、加速度a=eE/m₀は一定です。初速度0なら速度v=(eE/m₀)tは時間tの一次関数、走行距離x_dis=(eE/2m₀)t²は二次関数になります。運動エネルギーK=1/2 m₀v²へ速度を代入するとK=e²E²t²/(2m₀)で、時間tの2乗に比例します。よって空欄は（ア）eE、（イ）一次、（ウ）二次、（エ）2乗となり、正解は選択肢（5）です。

ポイント解説：一定加速度から速度・距離・運動エネルギーを導く

GPT Image 2で作成した一定加速度運動の速度と距離の導出。v=(eE/m₀)tは一次、x_dis=(eE/2m₀)t²は二次であることをグラフとともに示す — 一定加速度を時間で積み重ねると速度は一次関数、速度を時間で積み重ねると走行距離は二次関数になります。

$$(\text{ア})\quad m_0a=eE$$

❶ 運動方程式
力は $+x$ 方向に $eE$

$$(\text{イ})\quad v=at=\frac{eE}{m_0}t\ \Rightarrow\ t\ \text{の【一次】関数}$$

❷ 速度
比例

$$(\text{ウ})\quad x=\frac{1}{2}at^{2}\ \Rightarrow\ t\ \text{の【二次】関数}$$

❸ 走行距離
放物線状に伸びる

$$(\text{エ})\quad W=\frac{1}{2}m_0v^{2}=\frac{1}{2}m_0a^{2}t^{2}\ \Rightarrow\ t\ \text{の【2乗】で増加}$$

❹ 運動エネルギー

❹は「速度が時間の1次だから、その二乗は時間の2乗」という筋道です。$v\propto t$ なら $v^{2}\propto t^{2}$——エネルギーは速度の二乗に比例するので、時間の2乗で増えます。

距離も時間の2乗なので、エネルギーは距離に比例することになります。これは「仕事＝力×距離」から見ても当然——力が一定なら、進んだ距離に比例して仕事が増えるからです。

答え(ア) $eE$、(イ) 一次、(ウ) 二次、(エ) 2乗　→　選択肢(5)

問題の解説：公式の5選択肢を照合して正解(5)を選ぶ

GPT Image 2で作成した運動エネルギーの導出。K=1/2 m₀v²へ速度を代入しK=e²E²t²/(2m₀)を得て、時間の2乗で増えることを示す — 速度が時間に比例するため、その二乗で決まる運動エネルギーは時間の2乗に比例します。

GPT Image 2で作成した選択肢1と3の照合。選択肢1はエが1乗、選択肢3はアがeE²なので除外する — 導出結果eE・一次・二次・2乗と比べると、選択肢（1）と（3）はそれぞれ1項目が一致しません。

GPT Image 2で作成した公式選択肢2の確認。アは1/2 eE、イは二次、ウは一次、エは1乗であることを示す — 選択肢（2）は、（ア）1/2 eE、（イ）二次、（ウ）一次、（エ）1乗で、導出結果とは一致しません。

GPT Image 2で作成した選択肢4と5の最終照合。選択肢5のeE・一次・二次・2乗がすべて一致して正解であることを示す — 選択肢（4）は不一致、選択肢（5）は4項目すべてが一致するため、正解は（5）です。

選択肢	(ア)	(イ)	(ウ)	(エ)	どこが誤りか
(1)	$eE$	一次	二次	1乗	(エ)が誤り
(2)	$\frac12eE$	二次	一次	1乗	ほぼ全部誤り
(3)	$eE^{2}$	一次	二次	2乗	(ア)が誤り（次元）
(4)	$\frac12eE$	二次	一次	2乗	(ア)(イ)(ウ)が誤り
(5)	$eE$	一次	二次	2乗	正解

(1)が最も惜しい誤答です。(ア)(イ)(ウ)まで正しいのに、(エ)だけ「1乗」——「エネルギーは速度の二乗」という一手を忘れたケースです。

(3)の $eE^{2}$ は次元が合いません。$\mathrm{C}\times(\mathrm{V/m})^{2}$——ニュートンになりません。次元チェックだけで消せます。

(2)(4)の $\dfrac{1}{2}eE$ も誤りです。$\dfrac{1}{2}$ が出てくるのは距離の式 $x=\dfrac12at^{2}$ とエネルギーの式 $\dfrac12mv^{2}$——力の式には出てきません。

⚠️ よくある間違い
(イ)と(ウ)を逆にする誤りも多いです。速度が一次、距離が二次——「距離は速度を積分したもの」だから次数が1つ上がると考えれば間違えません。

☝️ ひっかけの作り方：電界が「$x$ 軸の負の向き」という設定に注意してください。電子の電荷も負なので、力は正の向きになります。負が2つで正——符号を2回追うのを忘れずに。

深掘り①：等加速度運動の3つの式を使い分ける

初速度ゼロの等加速度運動では、3つの式があれば何でも求まります。どの量が与えられ、どの量を求めるかで選びます。

式	含まない量	使う場面
$v=at$	距離 $x$	時間から速度、速度から時間
$x=\frac12at^{2}$	速度 $v$	時間から距離、距離から時間
$v^{2}=2ax$	時間 $t$	距離から速度（時間不要）

3つ目の $v^{2}=2ax$ はエネルギー保存と同じ内容です。両辺に $\dfrac{m}{2}$ を掛けると $\dfrac12mv^{2}=max=Fx$——「運動エネルギー＝仕事」そのものになります。

本問は時間 $t$ の関数として問われているので、1つ目と2つ目を使います。3つ目は時間を含まないので出番がありません。

深掘り②：符号の追い方を確実にする

「電界が負の向き」「電荷が負」——負が2つ重なる設定は混乱のもとです。手順を決めて処理しましょう。

手順	内容	本問では
❶	電界をベクトルで書く	$\vec E=-E\hat x$（$E\gt 0$）
❷	力は $\vec F=q\vec E$	$q=-e$
❸	掛け算する	$(-e)(-E\hat x)=+eE\hat x$
❹	向きと大きさを確認	$+x$ 方向に大きさ $eE$

「負×負＝正」——電子は電界と逆向きに動くという一般則が、ここでも成り立っています。電界が $-x$ 向きなら、電子は $+x$ 向きです。

正電荷なら電界と同じ向きに動きます。本問が電子（負電荷）だから逆向き——問題文が「電荷が $-e$」とわざわざ書いているのは、この確認を求めているからです。

符号を追うのが不安なら、まず「電子は電界と逆向きに加速される」という結論を思い出し、それに合うように式を書く——逆算的な確認も有効です。

深掘り③：仕事率（パワー）はどう変化するか

問題では問われていませんが、仕事率の時間変化も考えておくと理解が深まります。仕事率＝単位時間あたりのエネルギーです。

$$P=Fv=eE\times at=eEat$$

❶ 力×速度
$t$ の1次

$$W=\frac{1}{2}m_0a^{2}t^{2}\ \Rightarrow\ \frac{dW}{dt}=m_0a^{2}t=eEat$$

❷ エネルギーを微分
一致 ✓

仕事率は時間の1次関数——速くなるほど、単位時間に受け取るエネルギーが増えるからです。力は一定でも、速度が増えるので $Fv$ が増えます。

量	時間依存	備考
力 $F$	一定（0次）	$eE$
速度 $v$	1次	$at$
仕事率 $P=Fv$	1次	力が一定なので速度と同じ次数
エネルギー $W$	2次	仕事率を積分するので1つ次数が上がる

「仕事率を積分するとエネルギー」——だから次数が1つ上がって2次になります。微分・積分の関係が、次数の上下にきれいに対応しています。

⏱️ 本番での進め方
❶ 負×負＝正——電子は電界と逆向きに加速。
❷ 等加速度の3式を書き出す——次数はそこから読み取る。
❸ (エ)だけ「1乗」の選択肢に注意——(1)が最頻の誤答。
❹ $eE^{2}$ は次元が合わない——(3)は即消し。

💡 覚え方
「微分すると次数が1つ下がり、積分すると1つ上がる」——距離(2次)→速度(1次)→加速度(0次)。エネルギー(2次)→仕事率(1次)。この階段を覚えれば、次数はすべて導けます。

★重要：令和5年度下期にそのまま再出題された

令和5年度下期A問題12は、本問と完全に同一の問題です。問題文も4つの空欄も、5つの選択肢の並びも、正答番号(5)まですべて同じ——12年の時を経ての再出題でした。

	本問（平成23年度 A問題12）	令和5年度下期 A問題12
問題文	電界は $x$ 軸の負の向き、電荷 $-e$、質量 $m_0$	完全に同一
空欄	(ア)(イ)(ウ)(エ)の4つ	完全に同一
選択肢	eE／一次／二次／2乗など5組	並びも同じ
正答番号	(5)	(5)