今回は令和6年度上期 理論科目 A問題12を解説します。平行電極板間の直流電圧V[V]で加速された電子が陽極板に到達したときの運動エネルギーと速さvを求める穴埋め問題です。
電子が電圧V全体で加速されると、電界がした仕事eVがそのまま運動エネルギー½mv²になります。エネルギー保存の式½mv²=eVを速さvについて解くだけです。
令和6年度上期 理論科目 A問題12：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和6年度上期 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12
電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 令和6年度上期 A問題12
真空中に置かれた平行電極板間に、直流電圧V[V]を加えて平等電界E[V/m]を作り、この陰極板に電子を置いた場合、初速度零で出発した電子が陽極板に到達したときの速さは、v[m/s]となった。このときの電子の運動エネルギーは、電子が陽極板に到達するまでに得るエネルギーに等しいと考えられ、次の式が成立する。
½mv²=(ア)
ただし、電子の電気素量をe[C]、電子の質量をm[kg]とする。したがって、この式から電子の速さv[m/s]は(イ)で表される。
上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(ア) (イ) (1) eV √(4eV/m) (2) eV √(2eV/m) (3) 2eV √(4eV/m) (4) eE √(2eE/m) (5) eE √(4eE/m)
出題のポイント：電気的な仕事がそのまま運動エネルギーになる
電子が陰極から陽極まで移動する間、電界がずっと押し続けます。その仕事が全部、運動エネルギーに変わる——エネルギー保存の法則そのものです。
空欄(ア)は「電子が得るエネルギー」です。仕事＝力×距離＝\(eE\times d\)——そして \(E=V/d\) なので \(d\) が約分されて \(eV\) になります。
この \(eV\) という形が、そのまま「電子ボルト」という単位の由来です。1 Vで加速された電子1個が得るエネルギーが1 eV——覚えやすい関係になっています。
(ア) の解説：\(d\) が約分される
\(d\) が約分
これが(ア)
❷で \(d\) が消えるのが本問の面白いところです。電極が近くても遠くても、電圧が同じなら得るエネルギーは同じ——近ければ力が強く距離が短い、遠ければ力が弱く距離が長いので、掛け算すると同じになります。
選択肢の(4)(5)にある \(eE\) は「力」であって「エネルギー」ではありません。単位を見れば \(\mathrm{C}\times\mathrm{V/m}=\mathrm{N}\)——ジュールになりません。
(イ) の解説：\(v\) について解く
\(2\) が現れる
\(\dfrac{1}{2}\) を移項すると \(2\) になる——ここが \(\sqrt{2eV/m}\) の \(2\) の正体です。選択肢(1)(3)の \(\sqrt{4eV/m}\) は、この \(2\) を誤って \(4\) にしたものです。
数値を入れると \(V=100\ \mathrm{V}\) で \(v\fallingdotseq5.93\times10^{6}\ \mathrm{m/s}\) になります。光速の約2 %——相対性理論の補正は不要な範囲です。
誤答の正体：\(2\) と \(4\)、\(V\) と \(E\)
| 選択肢 | (ア) | (イ) | どんな誤りか |
| (1) | \(eV\) | \(\sqrt{4eV/m}\) | \(\frac12\) の移項を誤る |
| (2) | \(eV\) | \(\sqrt{2eV/m}\) | 正解 |
| (3) | \(2eV\) | \(\sqrt{4eV/m}\) | (ア)に \(2\) を付けてしまう |
| (4) | \(eE\) | \(\sqrt{2eE/m}\) | \(V\) と \(E\) を取り違える |
| (5) | \(eE\) | \(\sqrt{4eE/m}\) | 両方誤り |
(4)(5)は単位が合いません。\(eE\) の単位はニュートンで、\(\frac12mv^{2}\) のジュールとは違います。次元チェックだけで2つ消えるのは大きな武器です。
(1)(3)は \(2\) と \(4\) の違いです。\(\frac12mv^{2}=eV\) から \(v^{2}=\dfrac{2eV}{m}\)——\(\frac12\) を移項すると \(2\) になるのであって \(4\) ではありません。
⚠️ よくある間違い
問題文は「平等電界 \(E\)」も「直流電圧 \(V\)」も両方与えています。どちらを使うかで答えが変わる——エネルギーは \(eV\)、力は \(eE\) と使い分けてください。
☝️ ひっかけの作り方：電極間隔 \(d\) は問題文に出てきません。\(E\) と \(V\) の両方が与えられているのに \(d\) がない——「\(d\) が約分されて消えるのだ」と気づけば方針が立ちます。
深掘り①：\(d\) が消える意味を図で考える
電極間隔を2倍にしたら何が起きるかを考えてみましょう。電圧は同じ \(V\) のままとします。
| 間隔 \(d\) | 間隔 \(2d\) | |
| 電界 \(E=V/d\) | \(V/d\) | \(V/(2d)\)（半分） |
| 力 \(F=eE\) | \(eV/d\) | \(eV/(2d)\)（半分） |
| 移動距離 | \(d\) | \(2d\)（2倍） |
| 仕事 \(W=Fd\) | \(eV\) | \(eV\)（同じ） |
| 到達速度 | \(\sqrt{2eV/m}\) | 同じ |
| 到達時間 | 短い | 長い（\(\sqrt2\) 倍） |
力が半分でも距離が2倍なら、仕事は同じです。だから到達速度は変わりません——変わるのは到達時間だけです。
「エネルギーは電圧だけで決まる」——これは電子の運動全体を貫く原理です。加速器の性能を「何ボルトで加速するか」で表すのも、この理由によります。
深掘り②：エネルギー保存で考えると計算が短い
運動方程式から順に解く方法と、エネルギー保存を使う方法を比べてみましょう。後者が圧倒的に速いことが分かります。
| 運動方程式ルート | エネルギー保存ルート | |
| ❶ | \(a=eE/m\) を求める | \(\frac12mv^{2}=eV\) と書く |
| ❷ | \(v^{2}=2ad\) を使う | \(v\) について解く |
| ❸ | \(v=\sqrt{2eEd/m}=\sqrt{2eV/m}\) | — |
| 手間 | 3ステップ | 2ステップ |
どちらでも同じ答えにたどり着きますが、エネルギー保存のほうが途中で \(d\) を扱わずに済むぶん速いです。「速さだけ知りたい」ならエネルギー、「時間も知りたい」なら運動方程式と使い分けます。
時間を求めるにはエネルギー保存だけでは足りません。\(t=\sqrt{2d/a}\) のように、加速度と距離が必要になります——そのときは運動方程式ルートです。
深掘り③：陽子や陽イオンではどうなるか
電子以外の荷電粒子でも、同じ式が使えます。変わるのは電気量と質量だけです。
| 粒子 | 電気量 | 質量（電子比） | 同じ \(V\) での速さ |
| 電子 | \(-e\) | 1 | 基準 |
| 陽子 | \(+e\) | 約1836倍 | \(1/43\) 倍 |
| \(\mathrm{He}^{2+}\)（α粒子） | \(+2e\) | 約7294倍 | \(1/60\) 倍 |
陽子は電子の約1836倍の質量なので、同じ電圧で加速しても速さは \(1/\sqrt{1836}\fallingdotseq1/43\) にしかなりません。得るエネルギーは同じ \(eV\) なのに、です。
α粒子は電気量が2倍なのでエネルギーは \(2eV\) ですが、質量が7294倍なので速さは \(\sqrt{2/7294}\fallingdotseq1/60\)——電気量と質量の両方が効きます。
⏱️ 本番での進め方
❶ 仕事＝力×距離で \(d\) が約分——エネルギーは \(eV\)。
❷ \(\frac12\) を移項すると \(2\)——\(4\) ではない。
❸ \(eV\) はジュール、\(eE\) はニュートン——次元で見分ける。
❹ 速さだけならエネルギー保存、時間も要るなら運動方程式。
💡 覚え方
「\(1\ \mathrm{V}\) で加速された電子は \(1\ \mathrm{eV}\) を得る」——これが \(W=eV\) の意味です。単位の名前がそのまま公式になっている——覚えるまでもありません。
出題履歴：空欄補充で導出過程を問う
導出の途中を空欄にする形式は、公式を暗記しているだけでは対応できません。「なぜその式になるのか」を追えるかが問われます。仕事＝力×距離という定義に立ち返ることが、確実な解法です。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
あわせて解いておきたい記事：【理論】令和7年度下期A問題12（電子に働く力）／【理論】令和4年度上期A問題12（エネルギーと速さの比）
まとめ
| (ア) | ½mv²=eV |
| 導出 | v²=2eV/m |
| (イ) | v=√(2eV/m) |
| 答え | (2) |
▼あわせて解きたい関連問題
・平行平板と運動エネルギー（電子の運動2）：【理論】令和7年度上期 A問題12
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