電子の運動22【電験3種 理論】平行平板電極間の電子（電界E=V/d・熱電子・運動エネルギーW=eV）を計算する！平成18年度 A問題12 完全解説

今回は平成18年度 理論科目 A問題12を解説します。平行平板電極間に電圧を加えたときの電界の強さ、加熱した電極から放出される電子の種類、電子が反対の電極に達したときの運動エネルギーを求める問題です。

平等電界の強さはE=V/d。加熱した電極から出る電子は熱電子。初速0の電子が電圧Vで加速されて反対の電極に達すると、電界がした仕事がそのまま運動エネルギーW=eVになります。

平成18年度 理論科目 A問題12：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成18年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12

電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 平成18年度 A問題12

　次の文章は、真空中の平行平板電極間における電子の運動に関する記述である。

　真空中に間隔d=6mmで向かい合った平行平板電極K、Pを置き、電極間に電圧V=2000Vを加える。このとき、電極間の平等電界の強さはE=(ア)[V/m]である。電極Kをヒータで加熱すると、その表面から電子が放出される。この電子を(イ)という。初速度が零のこの電子が電界によって加速され電極Pに達したとき、電子の運動エネルギーはW=(ウ)[J]となる。

　ただし、電子の電荷の大きさをe=1.6×10^-19Cとし、電子の初速度は零とする。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)及び(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	(ア)	(イ)	(ウ)
(1)	3.3×105	二次電子	3.2×10-16
(2)	3.3×105	熱電子	3.2×10-16
(3)	3.3×105	熱電子	1.6×10-16
(4)	3.3×102	熱電子	3.2×10-16
(5)	3.3×102	二次電子	1.6×10-16

出題のポイント：電界・熱電子・運動エネルギーを順に求める

間隔d＝6 mm＝6×10⁻³ m、電圧V＝2000 Vより、E＝V/d＝3.3×10⁵ V/mです。ヒータで加熱した電極から放出される電子は熱電子です。初速度0の電子が電位差2000 Vを通過して得る運動エネルギーはW＝eV＝1.6×10⁻¹⁹×2000＝3.2×10⁻¹⁶ Jです。よって正解は選択肢（2）です。

ポイント解説：E＝V/dと加熱による熱電子を確認する

❶で \(2000\div0.006\) を計算します。\(2000\div6=333.3\)、これを \(10^{-3}\) で割るので \(\times10^{3}\)——\(3.33\times10^{5}\) です。

❸は \(W=eEd\) で計算しても同じです。\(1.6\times10^{-19}\times3.33\times10^{5}\times6\times10^{-3}=3.2\times10^{-16}\)——遠回りですが検算になります。

問題の解説：W＝eVを計算し、選択肢（2）を選ぶ

誤りの種類	出てくる値	原因
\(3.3\times10^{2}\)	\(2000\div6=333\)	mm を m に直さなかった
\(1.6\times10^{-16}\)	\(e\times1000\)	電圧を半分にした・\(W=eV/2\) と誤る
二次電子	—	電子を衝突させたときの放出
光電子	—	光を当てたときの放出

\(3.3\times10^{2}\) を選んでしまう人は多いはずです。\(6\ \mathrm{mm}\) を \(6\ \mathrm{m}\) として計算すると \(333\ \mathrm{V/m}\)——1000倍のずれです。

\(W=eV\) の \(V\) は加速電圧そのものです。\(\dfrac{1}{2}\) は付きません——\(\dfrac{1}{2}mv^{2}=eV\) の左辺に \(\dfrac{1}{2}\) があるだけで、右辺のエネルギーは \(eV\) です。

☝️ ひっかけの作り方：「ヒータで加熱」＝熱電子放出です。光電子は光を当てたとき、二次電子は電子をぶつけたとき——原因が名前になっているので、問題文の動詞を読めば必ず分かります。

深掘り①：単位換算のミスを防ぐ方法

電験の計算ミスで最も多いのが単位換算です。特に \(\mathrm{mm}\)、\(\mu\mathrm{F}\)、\(\mathrm{mH}\) が絡む問題は要注意です。

接頭語	記号	倍率	よく出る量
ミリ	\(\mathrm{m}\)	\(10^{-3}\)	\(\mathrm{mm}\)、\(\mathrm{mH}\)、\(\mathrm{mA}\)
マイクロ	\(\mu\)	\(10^{-6}\)	\(\mu\mathrm{F}\)、\(\mu\mathrm{m}\)
ナノ	\(\mathrm{n}\)	\(10^{-9}\)	\(\mathrm{nF}\)、\(\mathrm{ns}\)
キロ	\(\mathrm{k}\)	\(10^{3}\)	\(\mathrm{kV}\)、\(\mathrm{k\Omega}\)
メガ	\(\mathrm{M}\)	\(10^{6}\)	\(\mathrm{M\Omega}\)、\(\mathrm{MHz}\)

おすすめは「問題文を読みながら基本単位に直す」やり方です。\(6\ \mathrm{mm}\) と読んだ瞬間に \(0.006\ \mathrm{m}\) とメモ——あとで直そうとすると忘れます。

答えの桁が選択肢と大きくずれたら、単位換算を疑ってください。本問なら \(10^{2}\) と \(10^{5}\) で3桁違う——まさに \(10^{3}\)＝ミリの分です。

深掘り②：\(W=eV\) の3つの導き方

電子が電圧 \(V\) で得るエネルギーが \(eV\) になることは、3通りの考え方で説明できます。

考え方	式	ポイント
仕事＝力×距離	\(W=eE\times d=e\dfrac{V}{d}d=eV\)	\(d\) が約分
電位差の定義	\(W=qV=eV\)	1 Cが1 Vで1 J
単位から	\(\mathrm{C}\times\mathrm{V}=\mathrm{J}\)	次元が合う

2番目が最も本質的です。電圧（電位差）とは「1クーロンの電荷を運ぶのに必要な仕事」——だから電荷 \(\times\) 電圧 ＝ 仕事になります。

この関係が「電子ボルト」という単位を生みました。1個の電子が1 Vで加速されて得るエネルギーが1 eV——本問の2000 Vなら2000 eV＝\(3.2\times10^{-16}\ \mathrm{J}\) です。

深掘り③：この電子はどれくらい速いのか

\(3.2\times10^{-16}\ \mathrm{J}\) のエネルギーを持つ電子の速さを計算してみましょう。数値の実感を持つと理解が深まります。

光速の約9 %——1秒間に地球を半周以上する速さです。それでも相対性理論の補正は約0.4 %——電験3種では無視して構いません。

加速電圧が \(10\ \mathrm{kV}\) を超えると、補正が数 %になります。ブラウン管テレビ（約20 kV）ではすでに無視できないレベル——実際の設計では相対論的な計算が使われます。

★参考：令和7年度上期に「選択肢を変えて」再出題された

令和7年度上期A問題12は、本問とほぼ同じ問題です。条件（\(d=6\ \mathrm{mm}\)、\(V=2000\ \mathrm{V}\)）も答えの中身も同じ——違うのは選択肢の中身と並びです。

	本問（平成18年度 A問題12）	令和7年度上期 A問題12
条件	\(d=6\ \mathrm{mm}\)、\(V=2000\ \mathrm{V}\)	同じ
答えの中身	\(3.3\times10^{5}\)／熱電子／\(3.2\times10^{-16}\)	同じ
誤答用の用語	二次電子	光電子
正答番号	(2)	(5)

19年の時を経て再出題され、正答番号は(2)から(5)へ移りました。紛らわしい用語も「二次電子」から「光電子」に差し替えられています——それでも解き方はまったく同じです。

出題履歴：空欄補充で基本を確認する

3つの空欄がそれぞれ独立しているので、1つでも確実に分かれば得点の可能性が上がります。用語（イ）は知識、(ア)(ウ)は計算——バランスよく問う良問です。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

あわせて解いておきたい記事：【理論】令和7年度上期A問題12（ほぼ同じ問題）／【理論】平成22年度A問題12（電子放出の4つの現象）

まとめ

(ア)	E=V/d=3.3×10⁵ V/m
(イ)	熱電子（加熱放出）
(ウ)	W=eV=3.2×10⁻¹⁶ J
答え	(2)

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・電子放出現象の分類（電子の運動17）：【理論】平成22年度 A問題12