今回は平成27年度 理論科目 A問題12を解説します。ブラウン管（電子銃・偏向板・蛍光面）内で、平等電界により偏向される電子のx方向速度成分uと、蛍光面での中心からのシフト距離Xを求める計算問題です。
偏向板内では電子が静電力eEでx方向に加速され、通過時間l/vの間に速度u=elE/(mv)を得ます。偏向後は角度θ（tanθ=u/v）で直進し、l≪dの近似で蛍光面のシフトはX=d・tanθ=eldE/(mv²)となります。
平成27年度 理論科目 A問題12：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成27年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12
電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 平成27年度 A問題12
次の文章は、ブラウン管中の電子の運動に関する記述である。
ブラウン管は電子銃、偏向板、蛍光面などから構成される真空管であり、オシロスコープの表示装置として用いられる。図のように、電荷-e[C]をもつ電子が電子銃から一定の速度v[m/s]でz軸に沿って発射される。電子は偏向板の中を通過する間、x軸に平行な平等電界E[V/m]から静電力-eE[N]を受け、x方向の速度成分u[m/s]を与えられ進路を曲げられる。偏向板を通過後の電子はz軸とtanθ=u/vなる角度θをなす方向に直進して蛍光面に当たり、その点を発光させる。このとき発光する点は蛍光面の中心点からx方向に距離X[m]だけシフトした点となる。
ただし、電子の静止質量をm[kg]、偏向板のz方向の大きさをl[m]、偏向板の中心から蛍光面までの距離をd[m]とし、l≪dと仮定してよい。また、速度vは光速に比べて十分小さいものとする。
uとXを表す式の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
u X (1) elE/(mv) 2eldE/(mv²) (2) elE²/(mv) 2eldE/(mv²) (3) elE/(mv²) eldE²/(mv) (4) elE²/(mv²) eldE/(mv) (5) elE/(mv) eldE/(mv²)
出題のポイント：偏向板の中は放物線、出た後は直線
ブラウン管の電子は、2つの区間を通ります。偏向板の中では電界を受けて曲がり、出た後は力を受けずに直進——区間ごとに分けて考えるのが基本方針です。
\(z\) 方向の速度 \(v\) は最後まで変わりません。電界は \(x\) 方向にしかかかっていないので、\(z\) 方向には力が働かないからです。
偏向板を出た後は、\(\tan\theta=u/v\) の向きに直進します。\(l\ll d\) という仮定があるので、板の中での横ずれは無視して、板の中心から直進したとみなせます。
解説：\(u\) と \(X\) を順に求める
力の大きさは \(eE\)
\(z\) 方向は等速
❸で \(v\) が分母に1つ、❺でもう1つ——合わせて \(v^{2}\) になります。「速い電子ほど曲がりにくい」——しかも二乗で効くということです。
速い電子が曲がりにくい理由は2つあります。偏向板を通過する時間が短い（\(t=l/v\)）ことと、横速度が付いても \(z\) 方向が速いので角度が小さい（\(\tan\theta=u/v\)）ことです。
誤答の正体：\(E\) と \(v\) の指数、そして係数2
| 選択肢 | \(u\) | \(X\) | どこが誤りか |
| (1) | \(elE/(mv)\) | \(2eldE/(mv^{2})\) | \(X\) に余分な2 |
| (2) | \(elE^{2}/(mv)\) | \(2eldE/(mv^{2})\) | 両方誤り |
| (3) | \(elE/(mv^{2})\) | \(eldE^{2}/(mv)\) | 両方誤り（次元も合わない） |
| (4) | \(elE^{2}/(mv^{2})\) | \(eldE/(mv)\) | 両方誤り |
| (5) | \(elE/(mv)\) | \(eldE/(mv^{2})\) | 正解 |
(1)が最も惜しい誤答です。\(u\) は正しいのに \(X\) に係数2が付いている——「偏向板の入口から蛍光面まで」と考えると2が付くことがあります。
問題文は「偏向板の【中心】から蛍光面までの距離を \(d\)」と明記しています。中心から測るので係数は1——入口から測る流儀とは違います。
(2)(3)(4)は \(E\) や \(v\) の指数が誤りです。次元チェックで消せます——\(u\) は \(\mathrm{m/s}\)、\(X\) は \(\mathrm{m}\) にならなければいけません。
⚠️ よくある間違い
\(E^{2}\) が出てくる選択肢は必ず誤りです。力は \(eE\) で電界の1乗に比例——二乗にはなりません。電界が2倍なら偏向も2倍という素直な関係です。
☝️ ひっかけの作り方：\(l\ll d\) という仮定は、「偏向板の中での横ずれを無視してよい」という意味です。厳密には板の中でも少しずれますが、\(d\) に比べて小さいので無視できます。
深掘り①：偏向感度という考え方
\(X=\dfrac{eldE}{mv^{2}}\) を「電圧あたりのずれ」で書き直すと、オシロスコープの性能を表す「偏向感度」になります。
\(e\) も \(m\) も消える
電子の電荷も質量も消えて、幾何学的な寸法と電圧の比だけになりました。\(X\propto\dfrac{V_d}{V_a}\)——偏向電圧に比例し、加速電圧に反比例します。
加速電圧を上げると画面は明るくなるが、偏向感度は落ちる——これがブラウン管設計のトレードオフです。高輝度が欲しければ、より大きな偏向電圧が必要になります。
深掘り②：静電偏向と電磁偏向
ブラウン管の偏向には2つの方式があります。本問は静電偏向（偏向板）ですが、テレビでは電磁偏向（偏向コイル）が使われました。
| 静電偏向（偏向板） | 電磁偏向（偏向コイル） | |
| 使うもの | 電界 | 磁界 |
| 偏向角 | 小さい（±20°程度） | 大きい（±55°以上） |
| 応答速度 | 速い（高周波向き） | 遅い（コイルのインダクタンス） |
| 主な用途 | オシロスコープ | テレビ・モニタ |
オシロスコープは高い周波数の波形を観測する必要があるので、応答の速い静電偏向を使います。テレビは大きく曲げて奥行きを短くしたいので、電磁偏向です。
本問が「オシロスコープの表示装置」と書いているのは、静電偏向であることの説明です。問題文の設定には必ず理由があります。
深掘り③：水平投射との対応
偏向板の中での運動は、水平投射（水平に投げたボール）とまったく同じです。置き換えて考えれば、新しく覚えることはありません。
| 水平投射 | 偏向板中の電子 | |
| 水平方向 | 等速 \(v_0\) | 等速 \(v\)（\(z\) 方向） |
| 鉛直方向 | 等加速度 \(g\) | 等加速度 \(eE/m\)（\(x\) 方向） |
| 飛行時間 | \(t=L/v_0\) | \(t=l/v\) |
| 落下距離 | \(\frac12gt^{2}\) | \(\frac12at^{2}\) |
| 着地時の縦速度 | \(gt\) | \(at=u\) |
「重力を電気力に置き換えるだけ」——高校物理の水平投射が完全にそのまま使えます。違うのは加速度の大きさだけです。
電子の加速度は \(10^{14}\ \mathrm{m/s^{2}}\) のオーダー——重力加速度の \(10^{13}\) 倍以上です。だから重力の影響は完全に無視できます。
⏱️ 本番での進め方
❶ 区間を2つに分ける——偏向板の中（放物線）と外（直線）。
❷ \(z\) 方向の速度 \(v\) は最後まで一定——力が働かないから。
❸ \(t=l/v\)、\(u=at\)、\(X=d\tan\theta=du/v\)——3ステップ。
❹ \(E^{2}\) が出る選択肢は誤り——力は電界の1乗。
💡 覚え方
「\(X\) は \(v^{2}\) に反比例」——通過時間が短くなる分と、角度が小さくなる分で二重に効くからです。速い電子ほど曲がりにくい——直感とも一致します。
出題履歴：ブラウン管は電子の運動の総合問題
ブラウン管の偏向は、電界中の運動の応用です。加速・偏向・直進——電子の運動の要素がすべて詰まっています。水平投射との対応を押さえれば、確実に解ける問題です。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
あわせて解いておきたい記事：【理論】平成21年度A問題12（電界中は放物線・磁界中はらせん）／【理論】令和元年度A問題12（電界中の等加速度運動）
まとめ
| 加速度 | a=eE/m |
| 通過時間 | t₁=l/v |
| u | elE/(mv) |
| X | eldE/(mv²) |
| 答え | (5) |
▼あわせて解きたい関連問題
・平等電界中の電子の運動（電子の運動4）：【理論】令和6年度上期 A問題12
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