同期機6【電験3種 機械】同期インピーダンスと出力を求める！令和6年下期 B問題15 完全解説

今回は令和6年度下期 機械科目 B問題15を解説します。前半(a)で同期インピーダンス、後半(b)で負荷角30°のときの出力を求める、同期発電機の総合問題です。

(a)は短絡試験の関係、(b)は電圧・電流ベクトル図と出力式 \(P=\dfrac{EV}{X_s}\sin\delta\) を使います。1問で同期機計算の主要公式を総ざらいできる良問です。

問題文と選択肢

　定格電圧6 600 V，定格出力8 MV・Aの三相同期発電機がある。界磁電流が200 Aにおける無負荷端子電圧は6 600 Vであり，この界磁電流での三相短絡電流は800 Aであった。突極性は無視し，電機子巻線抵抗及び鉄損と機械損は無視できるものとする。

(a)　一相分の同期インピーダンス[Ω]。

(1)　2.75　(2)　4.76　(3)　8.25　(4)　19.1　(5)　33.0

(b)　端子電圧6 600 V，力率1.0で運転したとき負荷角30°。このときの出力[MW]。

(1)　1.76　(2)　3.05　(3)　5.28　(4)　6.08　(5)　15.9

出題のポイント：同じ界磁電流の無負荷電圧と短絡電流を使う

同期インピーダンスは、同じ界磁電流における無負荷相電圧を三相短絡電流で割って求めます。線間電圧6 600 Vは必ず√3で割って相電圧に直し、(b)では力率1のベクトル三角形と負荷角30°から電機子電流を求めます。

ポイント解説：力率1のベクトル三角形から電流を求める

同じ界磁電流のもとでは、無負荷誘導起電力（相電圧）\(E=V_n/\sqrt{3}\) を、その界磁電流で流れる短絡電流 \(I_s\) で割れば、同期インピーダンスが求まります。

$$Z_s=\frac{E}{I_s}=\frac{V_n/\sqrt{3}}{I_s}$$

問題の解説：(a)同期インピーダンスから(b)出力へつなぐ

STEP1　(a) 同期インピーダンスを求める

無負荷端子電圧（線間）6 600 Vより相電圧 \(E=6\,600/\sqrt{3}\) V、短絡電流 \(I_s=800\) Aだから、

$$Z_s=\frac{6\,600/\sqrt{3}}{800}=\frac{3\,810.5}{800}\fallingdotseq4.76\ [\Omega]$$

よって(a)は(2)です。

STEP2　(b) ベクトル図から誘導起電力を求める

力率1.0なので、端子電圧（相電圧）\(V=6\,600/\sqrt{3}\) V と電流 \(I\) は同相です。誘導起電力の一般式は、

$$\dot{E}=\dot{V}+jX_s\dot{I}$$

負荷角 \(\delta\) は \(E\) と \(V\) のなす角で、\(V=E\cos\delta\) の関係があります。

STEP3　(b) 出力の式に代入する

三相出力の一般式は次のとおりです。

$$P=3\times\frac{E\,V}{X_s}\sin\delta$$

ここで \(E=\dfrac{V}{\cos\delta}=\dfrac{6\,600/\sqrt{3}}{\cos30^\circ}=4\,400\) V、\(V=6\,600/\sqrt{3}\) V、\(X_s=Z_s=4.76\ \Omega\)（抵抗分は無視）を代入すると、

$$P=3\times\frac{4\,400\times(6\,600/\sqrt{3})}{4.76}\times\sin30^\circ\fallingdotseq5.28\times10^6\ \mathrm{W}=5.28\ [\mathrm{MW}]$$

よって(b)は(3)です。

答え：(a)-(2)、(b)-(3)

まとめ

(a) 同期インピーダンス	\(Z_s=(V_n/\sqrt{3})/I_s=4.76\,\Omega\)
(b) 誘導起電力	\(E=V/\cos\delta=4\,400\) V
(b) 出力	\(P=3EV\sin\delta/X_s=5.28\) MW
答え	(a)-(2)、(b)-(3)

▼あわせて解きたい関連問題
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