同期機12【電験3種 機械】無負荷にすると端子電圧は何倍？平成27年 A問題4 完全解説

今回は平成27年度 機械科目 A問題4を解説します。力率1.0の定格運転から励磁を変えずに無負荷にしたときの端子電圧を求める、ベクトル図の問題です。

「無負荷にすると端子電圧＝誘導起電力 \(E_0\)」がカギ。単位法でベクトル計算すれば一発です。

問題文と選択肢

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成27年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題4

　定格電圧，定格電流，力率1.0で運転中の三相同期発電機がある。百分率同期インピーダンスは85 %である。励磁電流を変えないで無負荷にしたとき，この発電機の端子電圧は定格電圧の何倍になるか。最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，電機子巻線抵抗と磁気飽和は無視できるものとする。

(1)　1.0　(2)　1.1　(3)　1.2　(4)　1.3　(5)　1.4

出題のポイント：無負荷にすると端子電圧は誘導起電力になる

負荷をかけているとき、端子電圧は誘導起電力から同期インピーダンス降下の分だけずれています。無負荷にすれば電流が0になり、降下も0——端子電圧はそのまま誘導起電力の大きさになります。

「励磁電流を変えないで」という条件が効いているのはここです。励磁が同じなら磁束も同じ、したがって誘導起電力 E も同じ——負荷を外しても E は変わらず、その値が端子に現れるのです。

単位法で三平方の定理を使う

百分率同期インピーダンスが85 %ということは、単位法で x_s＝0.85です。定格電圧・定格電流での運転なので、V＝1.0、I＝1.0——すべて単位法にそろえれば、数値がそのまま扱えます。

量	単位法の値	根拠
端子電圧 V	1.0	定格電圧で運転中
電機子電流 I	1.0	定格電流で運転中
同期リアクタンス xs	0.85	百分率同期インピーダンス85 %
リアクタンス降下 xsI	0.85	0.85×1.0

力率1.0なので、V と I は同相です。すると \( jx_s\dot{I} \) は \( \dot{V} \) と直角——ベクトル図は直角三角形になり、三平方の定理が使えます。

この答えが電圧変動率そのもの

本問の答え1.31 をこの式に入れると、電圧変動率は31 %になります。つまり本問は、電圧変動率を求める問題を言い換えたもの——「何倍か」と聞かれても「変動率は何%か」と聞かれても、やることは同じです。

変圧器の電圧変動率が数％であるのに対し、同期発電機は数十％——この違いも %Z の大きさの違いから来ています。だから発電機は自動電圧調整装置（AVR）で界磁電流を絶えず調整し、端子電圧を一定に保っているのです。

力率が変わると答えはどうなるか

本問は力率1.0でしたが、力率が変わると計算式も答えも変わります。電機子反作用の向きが変わるからです。

力率	電機子反作用	E の求め方	無負荷にすると
1.0（本問）	交差磁化	\( \sqrt{V^{2}+(x_sI)^{2}} \)	上がる（1.31倍）
遅れ（0に近い）	減磁	\( V+x_sI \)	大きく上がる（1.85倍）
進み（0に近い）	増磁	\( V-x_sI \)	下がる（0.15倍）

遅れ力率では、負荷電流が減磁作用で電圧を押し下げていました——無負荷にすればその押し下げがなくなり、電圧が大きく跳ね上がります。逆に進み力率では増磁作用で電圧が持ち上がっていたので、無負荷にすると下がるのです。

関連：この現象を放置すると自己励磁になる

無負荷で電圧が上がるという現象が、さらに進むと危険な状態になります。長距離送電線を無負荷で充電すると、線路の静電容量に進み電流が流れます——進み電流は増磁作用ですから、電圧が上がり、電圧が上がればさらに進み電流が増えるという正帰還が生まれます。

これが自己励磁現象です。界磁を切っていても電圧が異常上昇し、絶縁を破壊するおそれがあります。対策としては、短絡比の大きい機械を使う、複数台を並列運転する、分路リアクトルを設けるなど——いずれも「進み電流を抑える／増磁作用に負けない機械にする」という発想です。

85 %という数字から短絡比も分かる

本問で与えられた百分率同期インピーダンス85 %は、そのまま短絡比に読み替えられます。両者は逆数の関係だからです。

短絡比1.18 ということは、この発電機は鉄機械寄り——水車発電機の性格です。それでも無負荷にすると電圧が1.3倍に跳ね上がるのですから、銅機械（短絡比0.6程度＝%Z が170 %前後）ならもっと激しく変動します。

%Zs	短絡比	力率1で無負荷にしたとき	機械の型
85 %（本問）	1.18	\( \sqrt{1+0.85^{2}}\fallingdotseq 1.31 \) 倍	鉄機械寄り
120 %	0.83	\( \sqrt{1+1.2^{2}}\fallingdotseq 1.56 \) 倍	中間
170 %	0.59	\( \sqrt{1+1.7^{2}}\fallingdotseq 1.97 \) 倍	銅機械

%Z が大きいほど無負荷時の電圧上昇も大きい——「電圧変動率が大きい」という銅機械の欠点が、この表で数字として見えます。タービン発電機が自動電圧調整装置を必須とするのは、この変動を打ち消し続ける必要があるからです。

与えられた1つの数字から、別の量へ読み替える——%Z と短絡比、そして電圧変動率は、同じ機械の同じ性質を違う角度から見た3つの表現です。どれか1つが与えられれば残りも出せると分かっていると、問題の見た目が変わっても同じ道具で対応できます。

まとめ

無負荷端子電圧	端子電圧＝\(E_0\)（電流0で電圧降下なし）
誘導起電力	\(E_0=\sqrt{1^2+0.85^2}=1.312\,\mathrm{p.u.}\)
倍率	\(E_0/V_n\fallingdotseq1.3\)倍
答え	(4)

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