同期機13【電験3種 機械】負荷接続時の出力端子電圧を求める！平成23年 A問題4 完全解説

今回は平成23年度 機械科目 A問題4を解説します。負荷を接続した非突極形同期発電機の出力端子電圧を求める、やや骨のある計算問題です。

発電機の同期リアクタンスと負荷インピーダンスの直列回路として、分圧の考え方で解きます。

問題文と選択肢

　Y結線の非突極形三相同期発電機があり，各相の同期リアクタンスが3 Ω，無負荷時の出力端子と中性点間の電圧が424.2 Vである。この発電機に1相当たりR＋jX_L Ωの三相平衡Y結線の負荷を接続したところ各相に50 Aの電流が流れた。接続した負荷は誘導性でそのリアクタンス分は3 Ωである。ただし，励磁の強さは一定で変化しないものとし，電機子巻線抵抗は無視するものとする。このときの発電機の出力端子間電圧[V]の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　300　(2)　335　(3)　475　(4)　581　(5)　735

出題のポイント：同期リアクタンスと負荷を1相直列回路で捉える

各相は、内部誘導起電力E0に対して同期リアクタンスjXsと負荷R＋jXLが直列につながる1相等価回路として扱えます。まずE0／Iから全体インピーダンスの大きさを求めてRを逆算し、次に負荷へかかる相電圧を計算します。設問の端子間電圧はY結線の線間電圧なので、最後に相電圧を√3倍します。

ポイント解説：全体インピーダンスから負荷抵抗と端子電圧を順に求める

無負荷相電圧 \(E_0=424.2\) V は誘導起電力そのものです。負荷を接続すると、\(E_0\) が「同期リアクタンス \(jX_s\) の降下」と「負荷 \(R+jX_L\) の電圧」に分配されます。

$$E_0=I\sqrt{R^2+(X_s+X_L)^2}$$

問題の解説：相電圧335.4 Vを線間電圧580.9 Vへ直す

STEP1　負荷抵抗 R を逆算する

電流50 A、\(X_s=X_L=3\) Ωを使って、

$$E_0=I\sqrt{R^2+(X_s+X_L)^2}\ \Rightarrow\ 424.2=50\sqrt{R^2+6^2}$$

$$R^2+36=\left(\frac{424.2}{50}\right)^2\fallingdotseq71.98\ \Rightarrow\ R=\sqrt{71.98-36}\fallingdotseq6.00\ [\Omega]$$

STEP2　出力端子電圧（相電圧）を求める

端子電圧は負荷 \(R+jX_L=6+j3\) にかかる電圧なので、分圧の考え方で、

$$V_{\text{相}}=E_0\times\frac{|R+jX_L|}{|R+j(X_s+X_L)|}=424.2\times\frac{\sqrt{6^2+3^2}}{\sqrt{6^2+6^2}}$$

STEP3　線間電圧に直す

Y結線なので線間電圧は相電圧の√3倍です。

$$V=\sqrt{3}\times424.2\times\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{72}}\fallingdotseq580.9\ [\mathrm{V}]$$

答え：(4)

まとめ

負荷抵抗	\(424.2=50\sqrt{R^2+6^2}\Rightarrow R\fallingdotseq6\,\Omega\)
相電圧	\(V=E_0\sqrt{45}/\sqrt{72}\)
線間電圧	\(\sqrt{3}\times424.2\times\sqrt{45}/\sqrt{72}\fallingdotseq581\,\mathrm{V}\)
答え	(4)

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