同期機1【電験3種 機械】短絡比から同期インピーダンスを求める！平成25年 A問題6 完全解説

今回から同期機シリーズがスタートします。第1問は平成25年度 機械科目 A問題6、テーマは同期機の計算で最頻出の短絡比と同期インピーダンスの関係です。

短絡比が与えられて同期インピーダンス［Ω］を求める——変換のカギは「単位法（p.u.）」です。ここを最初にマスターすると、同期機の計算問題が一気に楽になります。

問題文と選択肢

　定格電圧6.6 kV，定格電流1 050 Aの三相同期発電機がある。この発電機の短絡比は1.25である。

　この発電機の同期インピーダンス［Ω］の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　0.80　　(2)　2.90　　(3)　4.54　　(4)　5.03　　(5)　7.86

出題のポイント：短絡比からp.u.を経てΩへ変換する

短絡比Kは単位法の同期インピーダンスZs[p.u.]の逆数です。まずZs＝1／K＝0.8 p.u.を求め、三相Y結線の1相分に合わせて相電圧Vn／√3と定格電流Inから基準インピーダンスを作ります。最後にp.u.値へZbaseを掛けてΩへ戻します。

ポイント解説：基準インピーダンスは1相分で作る

同期発電機の一相分の等価回路は、無負荷誘導起電力 \(E_0\) と同期インピーダンス \(Z_s\) の直列回路です。単位法では、基準インピーダンスを次のように取ります。

$$Z_{\mathrm{base}}=\frac{V_n/\sqrt{3}}{I_n}\qquad(V_n\text{：線間の定格電圧})$$

\(Z_s\mathrm{[p.u.]}=Z_s[\Omega]/Z_{\mathrm{base}}\) であり、短絡比 \(K\) とは \(K=1/Z_s\mathrm{[p.u.]}\) の関係があります。

問題の解説：短絡比1.25から同期インピーダンス2.90 Ωを求める

STEP1　短絡比から単位法の同期インピーダンスを求める

短絡比と単位法インピーダンスの一般式は次のとおりです。

$$K=\frac{1}{Z_s\mathrm{[p.u.]}}\quad\Longrightarrow\quad Z_s\mathrm{[p.u.]}=\frac{1}{K}$$

数値を代入すると、

$$Z_s\mathrm{[p.u.]}=\frac{1}{1.25}=0.8\ \mathrm{p.u.}$$

STEP2　オーム値へ換算する一般式を立てる

$$Z_s[\Omega]=Z_s\mathrm{[p.u.]}\times\frac{V_n/\sqrt{3}}{I_n}=\frac{1}{K}\times\frac{V_n/\sqrt{3}}{I_n}$$

STEP3　数値を代入する

$$Z_s=\frac{1}{1.25}\times\frac{6\,600/\sqrt{3}}{1\,050}=0.8\times\frac{3\,810.5}{1\,050}\fallingdotseq 2.90\ [\Omega]$$

答え：(2)

まとめ

短絡比と p.u.	\(K=1/Z_s\mathrm{[p.u.]}\)
基準インピーダンス	\(Z_{\mathrm{base}}=(V_n/\sqrt{3})/I_n\)
Ω換算	\(Z_s=\dfrac{1}{K}\cdot\dfrac{V_n/\sqrt{3}}{I_n}=2.90\,\Omega\)
答え	(2)

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