自動制御18【電験3種 機械】K・T付きフィードバック制御系のボード線図（折線近似）！令和5年度下期 A問題13 完全解説

今回は令和5年度下期 機械科目 A問題13を解説します。比例要素Kと積分要素1/(jωT)を直列につないだフィードバック制御系の閉ループ周波数伝達関数W(jω)＝C(jω)/R(jω)について、そのボード線図の折線近似ゲイン特性を選ぶ問題です。

ブロック線図から等式を立ててW(jω)＝1/(1+jω(T/K))の形に整理すると、低域ゲイン0dB、折れ点角周波数K/T、高域で-20dB/decの下りという典型的な一次遅れ要素の折線近似になります。

令和5年度下期 機械科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 令和5年度下期 A問題13

　図に示すようなフィードバック制御系がある。閉ループ周波数伝達関数W(jω)=C(jω)/R(jω)のボード線図の折線近似ゲイン特性として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし，ωは角周波数[rad/s]を表す。

（1）折れ点1/Tで0dBから20log10Kの高さから下降開始（低域ゲイン20log10K，折れ点角周波数1/T，-20dB/dec）
（2）折れ点T/K，0dB水平線から下降（低域ゲイン0dB，折れ点T/K，-20dB/dec）
（3）折れ点T，20log10Kの高さから下降（低域ゲイン20log10K，折れ点T，-20dB/dec）
（4）折れ点K/T，0dB水平線から下降（低域ゲイン0dB，折れ点K/T，-20dB/dec）
（5）折れ点K/T，20log10Kの高さから下降（低域ゲイン20log10K，折れ点K/T，-20dB/dec）

出題のポイント：開ループ積分要素から閉ループ一次遅れへ

前向き経路は比例要素Kと積分要素1/(jωT)の直列です。単位負帰還を閉じると、閉ループ伝達関数はW(jω)＝1/(1＋jω(T/K))となり、一次遅れ要素の標準形になります。1/(jωT)自体を一次遅れ要素と取り違えないことが重要です。

ポイント解説：0 dB・K/T・－20 dB/decを図で確認

比例要素Kと積分要素1/(jωT)を直列に持つフィードバック制御系は、閉ループ公式で整理するとW(jω)=1/(1+jω(T/K))という一次遅れ要素の標準形になります。

低域ゲインは0dB、折れ点角周波数はK/T、高域では-20dB/decという典型的な折線近似の形を選ぶだけで解けます。

問題の解説：折れ点K/Tの選択肢（4）

STEP1　ブロック線図から関係式を立てる

{R(jω)-C(jω)}×K×1/(jωT)=C(jω)より、

$$R(j\omega)=\left(1+j\omega\frac{T}{K}\right)C(j\omega)$$

STEP2　W(jω)を求める

$$W(j\omega)=\frac{C(j\omega)}{R(j\omega)}=\frac{1}{1+j\omega(T/K)}$$

STEP3　ゲイン特性を確認する

$$W[\text{dB}]=-10\log_{10}\left\{1+\left(\frac{\omega T}{K}\right)^2\right\}$$

ω(T/K)≪1（低域）のとき W≈0dB。ω(T/K)≫1（高域）のとき-20log10(ωT/K)〔dB〕（10倍で-20dB変化）。

折れ点角周波数はω(T/K)=1、つまりω=K/Tです。

STEP4　選択肢と照合する

低域0dB・折れ点K/T・-20dB/decの下りという特性を満たすのは(4)です。

答え：(4)

まとめ

W(jω)	1/(1+jω(T/K))
低域ゲイン	0dB
折れ点角周波数	K/T
答え	(4)

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