自動制御6【電験3種機械】RC一次遅れ要素の折れ点角周波数とゲイン・位相特性！令和3年度 A問題13 完全解説

2026年7月10日2026年8月4日

電験3種機械科目自動制御令和3年度 A問題13 一次遅れ要素の折れ点！ゲインと位相はどう動く？

今回は令和3年度機械科目 A問題13を解説します。抵抗RとキャパシタCで構成された一次遅れ要素（RC回路）の折れ点角周波数、ゲイン特性、位相特性に関する空所補充問題です。

G(jω)＝1/(1+jωCR)の形に整理し、折れ点角周波数ωc＝1/(CR)、低域ゲイン0dB、高域での傾き-20dB/dec、高域での位相遅れ90°という一次遅れ要素の典型的な性質を順に当てはめます。

令和3年度機械科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目自動制御令和3年度 A問題13 問題文 — 令和3年度機械科目 A問題13 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和3年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題13

電験3種機械科目【自動制御】令和3年度 A問題13

　次の文章は，図に示す抵抗R，並びにキャパシタCで構成された一次遅れ要素に関する記述である。図の回路において，入力電圧に対する出力電圧を，一次遅れ要素の周波数伝達関数として表したとき，折れ点角周波数ωcは（ア）rad/sである。ゲイン特性は，ωcよりも十分低い角周波数ではほぼ一定の（イ）dBであり，ωcよりも十分高い角周波数では，角周波数が10倍になるごとに（ウ）dB減少する直線となる。また，位相特性は，ωcよりも十分高い角周波数でほぼ一定の（エ）°の遅れとなる。

　上記の記述中の空白箇所(ア)〜(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし，R=10Ω，C=0.001Fとする。

（ア）（イ）（ウ）（エ）
(1) 100 20 10 45
(2) 100 0 20 90
(3) 100 0 20 45
(4) 0.01 0 10 90
(5) 0.01 20 20 45

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	100	20	10	45
(2)	100	0	20	90
(3)	100	0	20	45
(4)	0.01	0	10	90
(5)	0.01	20	20	45

出題のポイント：一次遅れ要素の4つの数値

RC回路は一次遅れ要素の代表例です。ボード線図の形が決まっているので、4つの空欄はすべて定型的に埋まります。

RC回路の周波数伝達関数

\( G(j\omega)=\dfrac{1/(j\omega C)}{R+1/(j\omega C)}=\dfrac{1}{1+j\omega CR} \)

分圧の式を整理するだけ——時定数 T＝CR の一次遅れ要素になります。

空欄	問われている量	答え	根拠
（ア）	折れ点角周波数	100 rad/s	ω_c＝1/(CR)
（イ）	低域のゲイン	0 dB	\|G\|→1、20log1＝0
（ウ）	高域の減少率	20 dB/dec	\|G\|∝1/ω
（エ）	高域の位相遅れ	90°	分母が純虚数になる

抵抗10オームを直列、コンデンサ0.001ファラドを出力点から帰線へ接続したRC低域通過回路と折れ点計算 — 出力はCの両端、折れ点角周波数は100 rad/sです。

それぞれの数値を確かめる

\( \omega_c=\dfrac{1}{CR}=\dfrac{1}{0.001\times10}=100\ [\mathrm{rad/s}] \)

（ア）折れ点角周波数
★C×R を先に計算する

\( \omega\ll\omega_c:\ |G|\fallingdotseq 1\ \Rightarrow\ 20\log_{10}1=0\ [\mathrm{dB}] \)

（イ）低域ゲイン
分母の虚数部が無視できる

\( \omega\gg\omega_c:\ |G|\fallingdotseq\dfrac{1}{\omega CR}\propto\dfrac{1}{\omega} \)

（ウ）高域の傾き
ωが10倍でゲインは1/10

\( 20\log_{10}\dfrac{1}{10}=-20\ [\mathrm{dB}] \)

10倍あたりの減少
★−20 dB/dec

\( \omega\gg\omega_c:\ G\fallingdotseq\dfrac{1}{j\omega CR}\ \Rightarrow\ \angle G=-90^\circ \)

（エ）高域の位相
1/j＝−j なので90°遅れ

令和3年度機械A問題13、100rad/s、0dB、20dB減少、90度遅れで正解2 — 空欄は100、0、20、90の組合せ（2）です。

答え（ア）100　（イ）0　（ウ）20　（エ）90——正解は (2)です。折れ点では位相が45°遅れ、ゲインは−3 dB——そちらの数字と混同しないでください。

⚠️ よくある間違い
(3)(5)の「45」は折れ点での位相です。問題文は「ω_cよりも十分高い角周波数で」と書いている——だから90°。
(1)(4)の「10 dB」は一次遅れの傾きを取り違えたもの。−20 dB/dec（＝−6 dB/oct）が一次遅れの標準です。
(4)(5)の「0.01」はCR をそのまま答えた値——折れ点角周波数はその逆数です。

一次遅れ要素のボード線図を覚える

この4つの数値は、一次遅れ要素なら常に同じです。時定数が変われば折れ点の位置が動くだけ——形は変わりません。

角周波数	ゲイン	位相
ω ≪ ω_c	0 dB（一定）	0°
ω ＝ ω_c	★−3 dB	★−45°
ω ≫ ω_c	−20 dB/dec で減少	★−90°

折れ点での −3 dB と −45°——この2つの数字はセットで覚えておくと、選択肢の見分けに使えます。

−3 dB は「振幅が1/√2 になる点」です。電力で言えば半分——だからカットオフ周波数（遮断周波数）とも呼ばれます。フィルタの帯域幅を定義する基準としても使われる重要な点です。

二次以上ならどうなるか

一次遅れの傾きが −20 dB/dec、位相遅れが90°——次数が上がると、これが単純に倍々になります。

要素	高域の傾き	最終的な位相遅れ	安定性への影響
一次遅れ	−20 dB/dec	90°	単独では不安定にならない
二次遅れ	−40 dB/dec	180°	★不安定の可能性が出る
三次遅れ	−60 dB/dec	270°	不安定になりやすい

位相が180°遅れると、負帰還が正帰還に変わります——そこでゲインが1 を超えていれば発振。これが不安定の条件です。

一次遅れは位相が90°までしか遅れないので、単独で不安定になることはありません——だから安心して使える要素だと言えます。実際の制御対象は複数の遅れをもつので、そこで安定性が問題になるのです。

⏱️ 本番での進め方
①（ア）ω_c＝1/(CR)＝1/(0.001×10)＝100。逆数を忘れない。
②（イ）低域は0 dB。ゲイン1 なので当然。
③（ウ）一次遅れは −20 dB/dec。10 dB ではない。
④（エ）十分高域なら90°。45°は折れ点での値。

💡 覚え方
「一次遅れは 0 dB → 折れ点で−3 dB・−45° → −20 dB/dec・−90°」——この一連の数字を丸ごと覚える。問われるのは常にこの中のどれかです。

100 rad/sで折れる0dBからマイナス20dB毎デカードのゲイン線図と、100でマイナス45度、高域でマイナス90度の位相線図 — 一次遅れ要素のゲインと位相を同じ折れ点で確認します。

RC回路はローパスフィルタでもある

本問の回路は、制御工学では一次遅れ要素ですが、電子回路の目で見れば低域通過フィルタ（ローパスフィルタ）です。同じものを別の言葉で呼んでいるだけになります。

	制御工学の言い方	電子回路の言い方
要素名	一次遅れ要素	1次ローパスフィルタ
ω_c	折れ点角周波数	遮断角周波数（カットオフ）
CR	時定数	時定数
着目点	応答の遅れ・安定性	通す周波数と通さない周波数

低い周波数はそのまま通り、高い周波数は減衰する——ゲイン特性がまさにそれを表しています。ノイズ除去のフィルタとして使えば、制御系の微分動作を安定させる働きもします。

時間領域で見れば、ステップ入力に対して指数関数的に立ち上がる——時定数 CR で最終値の63.2 %に達するのでした。本問なら CR＝0.01 s＝10 msです。

時定数と折れ点角周波数は逆数の関係

時定数が大きい＝応答が遅い＝高い周波数を通さない——時間領域と周波数領域は表裏一体です。

時定数 T＝CR	ω_c＝1/T	応答	通す周波数
10 ms（本問）	100 rad/s	ふつう	約16 Hz まで
1 ms	1000 rad/s	速い	約160 Hz まで
100 ms	10 rad/s	遅い	約1.6 Hz まで