自動制御7【電験3種機械】R-L回路のステップ応答からR,L,周波数伝達関数を求める！令和5年度上期 A問題13 完全解説

2026年7月10日2026年8月8日

電験3種機械科目自動制御令和5年度上期 A問題13 ステップ応答の立ち上がり！RとLを読み取る

今回は令和5年度上期機械科目 A問題13を解説します。R-L回路に単位階段状のステップ電圧を加えたときの電流i(t)の過渡応答波形から、抵抗R、インダクタンスL、周波数伝達関数G(jω)を求める問題です。★平成18年度A問題13（自動制御14）と全く同じ回路・数値の問題で、実質的な再出題にあたります。

電流の最終値i(∞)からRを求め、時定数（63.2%点に達する時刻）からLを求め、最後にG(jω)＝1/(R+jωL)の形に整理するという3段階の手順で解きます。

🔁 この問題は繰り返し出題されています
ほぼ同じ問題が【機械】平成18年度A問題13 でも出題されています。出題パターンが固定なので、セットで解けば確実な得点源になります。

令和5年度上期機械科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目自動制御令和5年度上期 A問題13 問題文 — 令和5年度上期機械科目 A問題13 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和5年度上期第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題13

電験3種機械科目【自動制御】令和5年度上期 A問題13

　図1に示すR-L回路において，端子a，a’間に単位階段状のステップ電圧v(t)[V]を加えたとき，抵抗R[Ω]に流れる電流をi(t)[A]とすると，i(t)は図2のようになった。この回路のR[Ω]，L[H]の値及び入力をa，a’間の電圧とし，出力をR[Ω]に流れる電流としたときの周波数伝達関数G(jω)の式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

R[Ω] L[H] G(jω)
(1) 10 0.1 0.1/(1+j0.01ω)
(2) 10 1 0.1/(1+j0.1ω)
(3) 100 0.01 1/(10+j0.01ω)
(4) 10 0.1 1/(10+j0.01ω)
(5) 100 0.01 1/(100+j0.01ω)

	R[Ω]	L[H]	G(jω)
(1)	10	0.1	0.1/(1+j0.01ω)
(2)	10	1	0.1/(1+j0.1ω)
(3)	100	0.01	1/(10+j0.01ω)
(4)	10	0.1	1/(10+j0.01ω)
(5)	100	0.01	1/(100+j0.01ω)

出題のポイント：波形から2つ、式へ1つ

波形から R と L を読み、伝達関数へ組み立てる——3段階の手順です。選択肢は3つの値の組合せなので、1つ確実に出せれば絞れます。

\( R=\dfrac{v}{i(\infty)}=\dfrac{1}{0.1}=10\ [\Omega] \)

最終値から抵抗
定常ではリアクトルが短絡と同じ

\( T=0.01\ [\mathrm{s}]\ \Rightarrow\ L=RT=0.1\ [\mathrm{H}] \)

63.2 %点から時定数
★L＝RT

\( G(j\omega)=\dfrac{1}{R+j\omega L}=\dfrac{0.1}{1+j0.01\omega} \)

伝達関数
分母分子を10で割った標準形

R＝10 で絞ると、残るのは(1)(2)(4)。L＝0.1 でさらに(1)(4)まで絞れます——最後は伝達関数の形で決着です。

単位ステップ電圧を加えたRL直列回路と、最終値0.1A・時定数0.01秒を示す指数応答 — 最終値からR、63.2％点の時刻からLを求めます。

令和5年度上期機械A問題13、R10オーム、L0.1ヘンリー、伝達関数0.1/(1+j0.01ω)、正解1 — R＝10 Ω、L＝0.1 Hとなる（1）が正解です。

答え正解は (1) R＝10 Ω、L＝0.1 H、G＝0.1/(1＋j0.01ω)です。(4)は R と L が同じなのに伝達関数だけ違う——1/(10＋j0.01ω) では L＝0.01 H になってしまい、自分の答えと矛盾します。

答えをボード線図で確かめる

求めた伝達関数がどんな特性を表しているか——ボード線図に直すと、波形との対応が見えてきます。

項目	値	波形との対応
低域ゲイン	0.1（＝−20 dB）	★1 V で0.1 A＝最終値
時定数	0.01 s	63.2 %点の時刻
折れ点角周波数	100 rad/s	時定数の逆数
高域の傾き	−20 dB/dec	速い変化には追従できない

低域ゲインの0.1 は、直流を加えたときの電流——まさに最終値そのものです。時間領域の「最終値」と周波数領域の「低域ゲイン」は同じものを見ています。

時定数と折れ点も同じ関係。時定数が小さい＝速く応答する＝高い周波数まで追従できる——時間と周波数は表裏一体だと分かります。

「立ち上がりが速い波形なら折れ点は高い」——このつながりを押さえておくと、どちらの形式で問われても対応できます。

最終値の定理という便利な道具

伝達関数から最終値を求める公式もあります。周波数伝達関数なら、ω→0 とするだけです。

\( \lim_{\omega\to0}G(j\omega)=\dfrac{0.1}{1+0}=0.1 \)

直流ゲイン
★これが単位ステップに対する最終値

単位ステップ（1 V）を加えたのだから、最終値は直流ゲインそのもの——0.1 Aです。波形から読んだ値と一致しました。

これは検算に使えます。求めた伝達関数に ω＝0 を代入して、波形の最終値と合うか——合わなければどこかで間違えているのです。

選択肢(4)で確かめてみましょう。1/(10＋j0.01ω) に ω＝0 を入れると0.1——じつは最終値は合っています。違うのは時定数のほう——だから2つとも確認する必要があるわけです。

⏱️ 本番での進め方
① 最終値0.1 A から R＝1/0.1＝10 Ω。
② 63.2 %点0.01 s が時定数。L＝RT＝0.1 H。
③ G＝1/(10＋j0.1ω)＝0.1/(1＋j0.01ω)。
④ ω＝0 で0.1 になるか、jω の係数がL/R か——2つとも確認。

💡 覚え方
「最終値＝直流ゲイン、時定数の逆数＝折れ点」——時間領域と周波数領域は同じことを別の言葉で言っている。だから片方から片方が求まるのです。

出題履歴：平成18年度と完全に同一

本問は平成18年度 B問題13と、回路も数値も選択肢も完全に同一です（自動制御：R-L回路のステップ応答と伝達関数）。17年ぶりに、まったく手を加えずに再出題されました。

ここまで同じ問題が出る——過去問を解いておく価値がはっきり分かる例です。自動制御は出題パターンが限られているので、過去問の反復が最も効率のよい対策になります。

最終値からR10オーム、時定数からL0.1ヘンリー、伝達関数0.1/(1+j0.01ω)を求める三段階 — 最終値、時定数、伝達関数の順に計算します。

R-L回路の過渡現象をもう一段深く

本問のステップ応答は、理論科目の過渡現象そのものです。微分方程式から導かれる——公式の背景を確認しておきましょう。

R-L回路の微分方程式

\( L\dfrac{di}{dt}+Ri=V \)

リアクトルの電圧＋抵抗の電圧＝電源電圧——キルヒホッフの法則そのものです。

t＝0 では電流が0——リアクトルが電流の変化を妨げるからです。このとき電圧はすべてリアクトルにかかり、di/dt＝V/L で立ち上がります。

時点	電流	リアクトルの電圧	抵抗の電圧
t＝0	0	★V（すべて）	0
t＝T	0.632V/R	0.368V	0.632V
t→∞	V/R	0	★V（すべて）