自動制御8【電験3種 機械】L-R1-R2直列回路のステップ応答から回路定数と伝達関数を求める！令和元年度 A問題13 完全解説

今回は令和元年度 機械科目 A問題13を解説します。インダクタンスLと抵抗R1，R2の直列回路に5Vのステップ電圧を加えたときの出力電圧v2(t)の過渡応答波形から、R1，R2，L，周波数伝達関数G(jω)を求める問題です。

時定数T＝L/(R1+R2)と定常値v2(∞)＝5R2/(R1+R2)の2つの関係式を波形から読み取り、比率R2:R1:L＝1:4:0.1を求めたうえで、その比率とG(jω)の式が両方成立する選択肢を選びます。

令和元年度 機械科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 令和元年度 A問題13

　図1に示すR-L回路において，端子a-a’間に5Vの階段状のステップ電圧v₁(t)[V]を加えたとき，抵抗R₂[Ω]に発生する電圧をv₂(t)[V]とすると，v₂(t)は図2のようになった。この回路のR₁[Ω]，R₂[Ω]及びL[H]の値と，入力をv₁(t)，出力をv₂(t)としたときの周波数伝達関数G(jω)の式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	R1[Ω]	R2[Ω]	L[H]	G(jω)
(1)	80	20	0.2	0.5/(1+j0.2ω)
(2)	40	10	1.0	0.5/(1+j0.02ω)
(3)	8	2	0.1	0.2/(1+j0.2ω)
(4)	4	1	0.1	0.2/(1+j0.02ω)
(5)	0.8	0.2	1.0	0.2/(1+j0.2ω)

出題のポイント：R₂両端の定常値と時定数を読む

回路の受動素子はL、R₁、R₂の三つだけで直列接続され、出力v₂はR₂の両端です。波形から定常値1.00 Vと時定数0.02 sを読み、分圧比とL/(R₁＋R₂)の二式を立てます。

出題のポイント：R₂両端の定常値と時定数を読む

回路の受動素子はL、R₁、R₂の三つだけで直列接続され、出力v₂はR₂の両端です。波形から定常値1.00 Vと時定数0.02 sを読み、分圧比とL/(R₁＋R₂)の二式を立てます。

ポイント解説：定常値→時定数→伝達関数の三段階

L-R1-R2の直列回路でR2の両端電圧を出力とする場合、定常状態での分圧比v2(∞)/5=R2/(R1+R2)と、時定数T=L/(R1+R2)の2つの関係式から回路定数の比率を求めます。

最後にラプラス変換を用いて周波数伝達関数をG(jω)=[R2/(R1+R2)]/[1+jω{L/(R1+R2)}]の形に整理します。

問題の解説：R₁＝4 Ω、R₂＝1 Ω、L＝0.1 H

STEP1　波形から時定数と定常値を読み取る

図2より v2(t)=1.00(1-e^{-t/0.02})[V]、つまり時定数T=0.02s、定常値v2(∞)=1.00V。

STEP2　時定数の関係式を立てる

$$T=\frac{L}{R_1+R_2}=0.02\Rightarrow L=0.02(R_1+R_2)\quad\cdots③$$

STEP3　定常値の関係式を立てる

分圧の関係より $$v_2(\infty)=\frac{5R_2}{R_1+R_2}=1\Rightarrow R_1=4R_2\quad\cdots④$$

③④より比率 R2:R1:L = 1:4:0.1 が得られます。

STEP4　周波数伝達関数を求めて選択肢と照合する

$$G(j\omega)=\frac{R_2/(R_1+R_2)}{1+j\omega\{L/(R_1+R_2)\}}$$

④より $$G(j\omega)=\frac{R_2/(5R_2)}{1+j0.02\omega}=\frac{0.2}{1+j0.02\omega}$$

比率R2:R1:L=1:4:0.1とG(jω)=0.2/(1+j0.02ω)の両方を満たすのはR1=4，R2=1，L=0.1の(4)です。

答え：(4)

まとめ

時定数T=L/(R1+R2)	0.02 s
定常値比	R1=4R2
比率 R2:R1:L	1:4:0.1
G(jω)	0.2/(1+j0.02ω)
答え	(4)

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