自動制御9【電験3種 機械】一巡伝達関数とベクトル軌跡（円弧）の読み取り！令和7年度上期 B問題18 完全解説

今回は令和7年度上期 機械科目 B問題18を解説します。「制御器（Kブロック）」と「制御対象（内部フィードバック付き1/(jωT)ブロック）」からなるフィードバック制御系で、K=2，T=0.5としたときの一巡伝達関数(a)と、そのベクトル軌跡(b)を求める問題です。★自動制御10（令和4年度上期B問題15）と全く同じブロック線図構成・出題形式で、K・Tの数値のみが異なる同型の反復出題です。

(a)はまず制御対象内部の閉ループ伝達関数G(jω)＝1/(1+jωT)を求め、これにKを掛けます。(b)はω=0とω=2の2点で座標を計算し、実軸切片と象限（上下）から選択肢を絞り込みます。

令和7年度上期 機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 令和7年度上期 B問題18

　図は，出力信号yを入力信号xに一致させるように動作するフィードバック制御系のブロック線図である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）図において，K=2，T=0.5として，入力信号からフィードバック信号までの一巡伝達関数（開ループ伝達関数）を表す式を計算し，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）2/(1-jω0.5)　（2）2/(1+jω0.5)　（3）1/(1+jω0.5)　（4）2/(3-jω0.5)　（5）2/(3+jω0.5)

（b）(a)で求めた一巡伝達関数において，ωを変化させることで得られるベクトル軌跡はどのような曲線を描くか，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。いずれも複素平面上の円弧で，ω=0の実軸切片とω→∞での原点への収束を示す。

（1）第1象限（虚軸+側）の円弧，ω=0で実軸2.0，ω=2で45°方向，ω=∞で原点
（2）同形状だが実軸切片0.67，ω=6のとき45°方向
（3）第4象限（虚軸-側）の円弧，ω=0で実軸2.0，ω=2で45°方向（下向き），ω=∞で原点
（4）同形状だが実軸切片0.67，ω=2のとき45°方向
（5）同形状だが実軸切片0.67，ω=6のとき45°方向

出題のポイント：伝達関数から代表点を求める

一巡伝達関数はY(jω)＝2/(1＋j0.5ω)です。ω＝0でY＝2＋j0、ω＝2でY＝1－j1、ω→∞でY→0となります。実部は正、虚部は負なので、ベクトル軌跡は第4象限を通って原点へ向かいます。

ポイント解説：第4象限の半円になる理由

一巡伝達関数（開ループ伝達関数）とは、フィードバック制御系のループを１箇所切ったときの、入力から切断点までの伝達関数のことです。まず「制御対象」内部の閉ループ伝達関数を求め、それに「制御器」のゲインKを掛けます。

ベクトル軌跡は、一巡伝達関数のωを0から∞まで変化させたときに複素平面上に描く軌跡です。代表的なωでの座標（実部・虚部）を計算し、選択肢の形状（象限・実軸切片）と照合します。

問題の解説：（a）は（2）、（b）は（3）

STEP1　(a) 制御対象内部の閉ループ伝達関数を求める

制御対象内部は単位フィードバック付き1/(jωT)ブロックなので、

$$G(j\omega)=\frac{1/(j\omega T)}{1+1/(j\omega T)}=\frac{1}{1+j\omega T}$$

STEP2　(a) K=2，T=0.5を代入する

一巡伝達関数はY(jω)=K×G(jω)なので、$$Y(j\omega)=\frac{2}{1+j\omega0.5}$$

これは選択肢(2)と一致します。

STEP3　(b) 代表的なωでの座標を計算する

ω=0のとき：$$Y=2\rightarrow(2,\ 0)$$（実軸切片2.0）

ω=2のとき：$$Y=\frac{2}{1+j}=\sqrt2\angle(-45°)=(1,-1)$$（第4象限、45°方向下向き）

ω→∞のとき：Y≈0（原点に収束）

STEP4　選択肢の形状と照合する

実軸切片2.0・第4象限（下向き）・原点収束という3条件を満たすのは(3)です。（1)は同じ実軸切片2.0ですが第1象限（上向き）のため不適です。

答え：(a)-(2)，(b)-(3)

まとめ

制御対象内部	1/(1+jωT)
一巡伝達関数	2/(1+j0.5ω)
ω=0	(2,0)
ω=2	(1,-1)第4象限
答え	(a)-(2)，(b)-(3)

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