自動制御11【電験3種 機械】調節計のブロック線図とCR回路（比例プラス積分要素）！令和5年度下期 B問題18 完全解説

今回は令和5年度下期 機械科目 B問題18を解説します。調節計の演算回路に用いられるフィードバックブロック線図で、内部のCR回路の周波数伝達関数G1(jω)を求める(a)と、ゲインKが非常に大きいときの閉ループ伝達関数の近似式（比例プラス積分要素）を求める(b)の問題です。★自動制御12（平成20年度B問題17）と図・問題文・選択肢・正解のすべてが同一で、実質的に同じ問題の再出題です。

(a)はCR回路の分圧計算でG1(jω)＝jωCR/(1+jωCR)を導きます。(b)はG(jω)＝K/(1+K・G1(jω))にG1(jω)を代入し、Kが非常に大きいとして1/K≈0で近似すると比例プラス積分要素の形になります。

令和5年度下期 機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 令和5年度下期 B問題18

　図1は，調節計の演算回路などによく用いられるブロック線図を示す。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）図2は，図1のブロックG1(jω)の詳細を示し，静電容量C[F]と抵抗R[Ω]からなる回路を示す。この回路の入力量V1(jω)に対する出力量V2(jω)の周波数伝達関数G1(jω)=V2(jω)/V1(jω)を表す式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1/(CR+jω)　（2）1/(1+jωCR)　（3）CR/(CR+jω)　（4）CR/(1+jωCR)　（5）jωCR/(1+jωCR)

（b）図1のブロック線図において，閉ループ周波数伝達関数G(jω)=X(jω)/Y(jω)で，ゲインKが非常に大きな場合の近似式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。なお，この近似式が成立する場合，この演算回路は比例プラス積分要素と呼ばれる。

（1）1+jωCR　（2）1+CR/jω　（3）1+1/(jωCR)　（4）1/(1+jωCR)　（5）(1+CR)/(jωCR)

出題のポイント：CR回路の出力位置から伝達関数を求める

CR回路はコンデンサCと抵抗Rの直列回路で、出力V₂はRの両端電圧です。したがって分圧則からG₁(jω)＝jωCR/(1＋jωCR)となります。回路図では素子の並びだけでなく、出力をどの素子の両端から取るかを確認します。

ポイント解説：負帰還公式とKが大きいときの近似

調節計の演算回路では、ブロックG1(jω)の中身がCR回路になっているものがよく使われます。まずこのCR回路単体の周波数伝達関数G1(jω)を求めます。

次に、全体をフィードバック制御系として捉え、閉ループ公式G(jω)=K/(1+K・G1(jω))にG1(jω)を代入します。ゲインKが非常に大きい場合は1/K≈0と近似することで、比例プラス積分要素という特徴的な形G(jω)=1+1/(jωCR)が得られます。

問題の解説：（a）は（5）、（b）は（3）

STEP1　(a) CR回路の周波数伝達関数G1(jω)を求める

図2の回路はC直列・R並列（出力はRの両端電圧）の構成なので、電流をi(t)とすると

$$V_1(j\omega)=\left(R+\frac{1}{j\omega C}\right)i(t),\quad V_2(j\omega)=Ri(t)$$

$$G_1(j\omega)=\frac{V_2}{V_1}=\frac{R}{R+1/(j\omega C)}=\frac{j\omega CR}{1+j\omega CR}$$

これは選択肢(5)と一致します。

STEP2　(b) 閉ループ伝達関数G(jω)を求める

図1はフィードバック制御系なので、等価変換公式より $$G(j\omega)=\frac{K}{1+K\,G_1(j\omega)}$$

G1(jω)を代入して整理すると、$$G(j\omega)=\frac{1}{\dfrac{1}{K}+\dfrac{j\omega CR}{1+j\omega CR}}$$

STEP3　Kが非常に大きい場合の近似を行う

Kが非常に大きいとき1/K≈0となるので、

$$G(j\omega)\approx\frac{1+j\omega CR}{j\omega CR}=1+\frac{1}{j\omega CR}$$

これは選択肢(3)と一致します（比例プラス積分要素）。

答え：(a)-(5)，(b)-(3)

まとめ

G1(jω)	jωCR/(1+jωCR)
G(jω)=K/(1+K・G1)	Kが大のとき近似
G(jω)（近似後）	1+1/(jωCR)
答え	(a)-(5)，(b)-(3)

▼あわせて解きたい関連問題
・調節計のブロック線図とCR回路（平成20年度の同一問題）：【機械】平成20年度B問題17
・一巡伝達関数とベクトル軌跡（令和7年度上期）：【機械】令和7年度上期B問題18