自動制御13【電験3種機械】進み-遅れ補償回路の時定数T1,T2,T3を求める！平成19年度 B問題17 完全解説

2026年7月10日2026年8月4日

電験3種機械科目自動制御平成19年度 B問題17 進みと遅れを組み合わせる！3つの時定数は？

今回は平成19年度機械科目 B問題17を解説します。抵抗RとキャパシタC1による一次遅れ回路（図1）の時定数T1を求める(a)と、そこにキャパシタC2を追加して過渡応答を改善した進み-遅れ補償回路（図2）の時定数T2，T3を求める(b)の問題です。

(a)は単純なRC分圧でT1＝C1Rを導きます。(b)はRとC2の並列インピーダンス、C1の並列インピーダンスの比から分圧式を作り、G(jω)＝(1+jωT3)/(1+jωT2)の形に整理してT2，T3を特定します。

平成19年度機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目自動制御平成19年度 B問題17 問題文 — 平成19年度機械科目 B問題17 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成19年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題17

電験3種機械科目【自動制御】平成19年度 B問題17

　図1及び図2について，次の(a)及び(b)に答えよ。

（a）図1は，抵抗R[Ω]と静電容量C1[F]による一次遅れ要素の回路を示す。この回路の入力電圧に対する出力電圧の周波数伝達関数をG(jω)=1/(1+jωT1)として表したとき，T1[s]を示す式として，正しいのは次のうちどれか。ただし，入力電圧の角周波数はω[rad/s]である。

（1）T1=1/(C1R)　（2）T1=C1R　（3）T1=1+C1R　（4）T1=(1+C1R)/(C1R)　（5）T1=C1/(1+C1R)

（b）図2は，図1の回路の過渡応答を改善するために静電容量C2[F]を付加した回路を示す。この回路の周波数伝達関数をG(jω)=(1+jωT3)/(1+jωT2)で表したとき，T2[s]及びT3[s]を示す式として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

T2 T3
(1) C2R C1R
(2) C1R C2R
(3) (C1+C2)R C2R
(4) (1/C1+1/C2)R C2R
(5) C1R (C1+C2)R

	T2	T3
(1)	C2R	C1R
(2)	C1R	C2R
(3)	(C1+C2)R	C2R
(4)	(1/C1+1/C2)R	C2R
(5)	C1R	(C1+C2)R

出題のポイント：(a)は分圧、(b)は並列インピーダンス

(a)は単純なRC回路——時定数は CR です。ここは確実に取りたいところ。

\( G(j\omega)=\dfrac{1/(j\omega C_1)}{R+1/(j\omega C_1)}=\dfrac{1}{1+j\omega C_1R} \)

分圧の式
—

\( \Rightarrow\ T_1=C_1R \)

時定数
★掛け算。1/(C₁R) ではない

選択肢(1)の 1/(C₁R) は折れ点角周波数——時定数はその逆数です。単位で確かめれば一発——Ω×F＝s なので CR は時間の次元をもちます。

R直列C1接地の一次遅れ回路と、RにC2を並列追加した進み遅れ補償回路を比較する図 — C₂はRと並列、C₁は出力節点から接地です。

(b) 抵抗にキャパシタを並列にすると何が起きるか

図2では R に C₂ が並列に入っています。まずこの並列インピーダンスを求めるのが出発点です。

\( Z_1=\dfrac{R\cdot\dfrac{1}{j\omega C_2}}{R+\dfrac{1}{j\omega C_2}}=\dfrac{R}{1+j\omega C_2R} \)

R と C₂ の並列
積÷和

\( Z_2=\dfrac{1}{j\omega C_1} \)

出力側のキャパシタ
—

\( G=\dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}=\dfrac{\dfrac{1}{j\omega C_1}}{\dfrac{R}{1+j\omega C_2R}+\dfrac{1}{j\omega C_1}} \)

分圧の式
—

\( \phantom{G}=\dfrac{1+j\omega C_2R}{j\omega C_1R+1+j\omega C_2R} \)

分母分子に jωC₁(1＋jωC₂R) を掛ける
—

\( \phantom{G}=\dfrac{1+j\omega C_2R}{1+j\omega(C_1+C_2)R} \)

整理
★T₃＝C₂R、T₂＝(C₁＋C₂)R

平成19年度機械B問題17でT1=C1Rは選択肢2、T2=(C1+C2)RとT3=C2Rは選択肢3と示す図 — (a)は（2）、(b)は（3）です。

答え(a)の正解は (2) T₁＝C₁R、(b)の正解は (3) T₂＝(C₁＋C₂)R、T₃＝C₂Rです。

極限で検算する

複雑な式を導いたら、極限で確かめるのが安全です。ω→0 と ω→∞ の2つを見てみましょう。

	ω→0（直流）	ω→∞（高周波）
C₁、C₂ の状態	ともに開放	ともに短絡
回路	R だけ（電流が流れない）	C₂とC₁の分圧
ゲイン	1	C₂/(C₁＋C₂)

\( \omega\to0:\ G=\dfrac{1+0}{1+0}=1 \)

直流ゲイン
★式からも1 になる

\( \omega\to\infty:\ G\to\dfrac{C_2R}{(C_1+C_2)R}=\dfrac{C_2}{C_1+C_2} \)

高周波ゲイン
★キャパシタの分圧と一致

高周波ではキャパシタが短絡に近づくので、C₂ と C₁ の容量分圧になります。導いた式の極限と一致——計算が正しいことの裏付けになります。

この検算だけでも選択肢が絞れます。T₃／T₂＝C₂/(C₁＋C₂)＜1——だから T₃＜T₂。選択肢(5)は T₃＞T₂ なので誤りだと分かります。

進み補償という考え方

問題文は「過渡応答を改善するために C₂ を付加」と述べています。なぜ改善するのかを考えてみましょう。

(1＋jωT₃)/(1＋jωT₂) で T₃＜T₂——分母のほうが時定数が大きいので、これは位相遅れ補償の形になります。

	C₂ なし（図1）	C₂ あり（図2）
伝達関数	\( \dfrac{1}{1+j\omega C_1R} \)	\( \dfrac{1+j\omega C_2R}{1+j\omega(C_1+C_2)R} \)
高周波ゲイン	0 に減衰	★C₂/(C₁＋C₂) で下げ止まる
高周波の応答	まったく通らない	一部が通る

C₂ を付けると、高周波成分が完全には遮断されなくなります——だから急な変化にも反応できる。これが「過渡応答の改善」の意味です。

抵抗にキャパシタを並列にすると、高周波では抵抗が短絡される——信号が素通りする道ができると考えると直感的です。スピードアップコンデンサと呼ばれることもあります。

制御系の補償回路は、この形の組合せで作られます。抵抗とキャパシタの配置を変えるだけで、進みにも遅れにもできる——アナログ補償回路の基本です。

⏱️ 本番での進め方
①(a) 単純なRC の時定数は CR。逆数の選択肢に注意。
②(b) まず R と C₂ の並列＝R/(1＋jωC₂R)。
③ 分圧して整理すると (1＋jωC₂R)/(1＋jω(C₁＋C₂)R)。
④ ω→0 で1、ω→∞ で C₂/(C₁＋C₂) を確認。

💡 覚え方
「抵抗にCを並列にすると高周波で素通りする道ができる」——だから過渡応答が改善する。そして「T₃＜T₂」——極限値の比から確かめられます。

並列枝と出力側コンデンサのアドミタンスから、T2=(C1+C2)RとT3=C2Rを導く図 — 分母の時定数T₂はC₁＋C₂、分子のT₃はC₂だけを含みます。

補償回路の2つの型

本問の図2のような回路は、制御系の特性を整える補償回路です。抵抗とキャパシタの配置で、進みにも遅れにもできます。

	位相進み補償	位相遅れ補償
伝達関数	\( \dfrac{1+j\omega T_1}{1+j\omega T_2}\ (T_1>T_2) \)	\( \dfrac{1+j\omega T_1}{1+j\omega T_2}\ (T_1<T_2) \)
位相	進む	遅れる
高域ゲイン	上がる	下がる
ねらい	★位相余裕を増やして安定化・応答を速く	低域ゲインを相対的に上げて定常偏差を減らす