自動制御12【電験3種 機械】調節計のブロック線図とCR回路（比例プラス積分要素）！平成20年度 B問題17 完全解説

今回は平成20年度 機械科目 B問題17を解説します。調節計の演算回路に用いられるフィードバックブロック線図とその内部のCR回路について、周波数伝達関数G1(jω)を求める(a)と、ゲインKが非常に大きいときの近似式（比例プラス積分要素）を求める(b)の問題です。★自動制御11（令和5年度下期B問題18）はこの問題と図・問題文・選択肢・正解が全く同一で、本問（平成20年度）が出題年度としては古く、自動制御11はその再出題にあたります。

解法は自動制御11と全く同じです。CR回路の分圧計算でG1(jω)＝jωCR/(1+jωCR)を導き、G(jω)＝K/(1+K・G1(jω))にKが非常に大きいという条件（1/K≈0）を適用して整理します。

平成20年度 機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 平成20年度 B問題17

　図1は，調節計の演算回路などによく用いられるブロック線図を示す。次の(a)及び(b)に答えよ。

（a）図2は，図1のブロックG1(jω)の詳細を示し，静電容量C[F]と抵抗R[Ω]からなる回路を示す。この回路の入力量V1(jω)に対する出力量V2(jω)の周波数伝達関数G1(jω)=V2(jω)/V1(jω)を表す式として，正しいのは次のうちどれか。

（1）1/(CR+jω)　（2）1/(1+jωCR)　（3）CR/(CR+jω)　（4）CR/(1+jωCR)　（5）jωCR/(1+jωCR)

（b）図1のブロック線図において，閉ループ周波数伝達関数G(jω)=X(jω)/Y(jω)で，ゲインKが非常に大きな場合の近似式として，正しいのは次のうちどれか。なお，この近似式が成立する場合，この演算回路は比例プラス積分要素と呼ばれる。

（1）1+jωCR　（2）1+CR/jω　（3）1+1/(jωCR)　（4）1/(1+jωCR)　（5）(1+CR)/(jωCR)

出題のポイント：C直列・R接地のCR回路と負帰還

CR回路はコンデンサCが直列、抵抗Rが接地され、出力V₂はRの両端電圧です。まず分圧でG₁を求め、そのG₁を帰還要素とする負帰還系の閉ループ式へ代入します。

ポイント解説：Kが大きいとき1/G₁へ近似

本問は自動制御11（令和5年度下期B問題18）と図・問題文・選択肢・正解のすべてが同一の問題です（出題年度は本問＝平成20年度の方が古く、自動制御11がその再出題にあたります）。解法も全く同じです。

CR回路単体の周波数伝達関数G1(jω)を求め、それをフィードバック内部に持つ全体の閉ループ伝達関数G(jω)を、ゲインKが非常に大きいという条件のもとで近似します。

問題の解説：(a)は（5）、(b)は（3）

STEP1　(a) CR回路の周波数伝達関数G1(jω)を求める

$$V_2(j\omega)=\left[\frac{R}{R+1/(j\omega C)}\right]V_1(j\omega)=\left[\frac{j\omega CR}{1+j\omega CR}\right]V_1(j\omega)$$

$$G_1(j\omega)=\frac{j\omega CR}{1+j\omega CR}$$ →選択肢(5)。

STEP2　(b) 閉ループ伝達関数G(jω)を求める

$$G(j\omega)=\frac{K}{1+K\,G_1(j\omega)}=\frac{1}{\dfrac1K+G_1(j\omega)}$$

STEP3　Kが非常に大きい場合の近似を行う

Kが非常に大きい場合1/K≈0なので、

$$G(j\omega)\approx\frac{1}{G_1(j\omega)}=\frac{1+j\omega CR}{j\omega CR}=1+\frac{1}{j\omega CR}$$

これは選択肢(3)と一致します。

答え：(a)-(5)，(b)-(3)

まとめ

G1(jω)	jωCR/(1+jωCR)
G(jω)（Kが大のとき近似）	1+1/(jωCR)
答え	(a)-(5)，(b)-(3)

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