今回は令和4年度下期 機械科目 B問題15を解説します。抵抗R、インダクタンスL、キャパシタンスCで構成されたRLC回路の伝達関数を求める(a)と、具体的な数値を代入したボード線図を選ぶ(b)の問題です。
(a)は分圧の関係からG(jω)＝1/(1-ω²LC+jωCR)を導きます。(b)はω=0、ω=1000、ω=10000での|G(jω)|の値（dB）を計算し、3点すべてに合致する選択肢を選ぶという絞り込み方が効率的です。
令和4年度下期 機械科目 B問題15：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
電験3種 機械科目 【自動制御】 令和4年度下期 B問題15
図は，抵抗，インダクタンス，キャパシタンスで構成されたRLC回路である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
（a）入力電圧V̇iに対する出力電圧V̇oの伝達関数G(jω)(=V̇o/V̇i)を求め，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（1）1/(1+ω²LC+jωCR) （2）1/(1-ω²LC+jωCR) （3）√(LC)/(1+ω²LC+jωCR) （4）√(LC)/(1-ω²LC+jωCR) （5）ω²LC/(ω²LC-1-jωCR)
（b）R=1Ω，L=0.01H，C=100μFとした場合，(a)で求めた伝達関数を表すボード線図（ゲイン特性図）として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。横軸ω[rad/s]（対数、100〜10000）、縦軸|G(jω)|[dB]（-60〜40dB）。
（1）-20dB付近から始まり，ω=1000付近で鋭いピーク（約20dB弱）を経て，10000付近で下降
（2）-20dB付近から始まり，ω=1000付近でより高いピーク（約30dB）を経て下降
（3）-20dB付近から始まり，ω=500付近でピーク（約20dB弱），その後緩やかに下降
（4）0dB付近から始まり，ω=1000付近で小さめのピーク（約20dB弱）を経て，その後-20dB/dec的に下降
（5）0dB付近が続き，ω=1000付近から-20dB/dec的に単調下降（ピークなし）
出題のポイント：RLC直列回路で出力をCから取る
R、L、Cは直列で、出力電圧はコンデンサCの両端です。分圧則からG(jω)＝1/(1－ω²LC＋jωCR)となります。回路図ではCを短絡する線がないことと、出力の測定位置を正確に確認します。
ポイント解説：1000 rad/sの共振ピークを三点で判定
RLC直列回路でCの両端電圧を出力とする場合、分圧の関係から伝達関数G(jω)=1/(1-ω²LC+jωCR)が導かれます。分母の(1-ω²LC)の項がゼロに近づく付近で共振し、ゲインにピークが現れます。
ボード線図の選択問題では、代表的な角周波数（ω=0、共振点付近、それより十分大きいω）でのdB値を計算し、3点すべてを満たす選択肢を選ぶのが効率的です。
問題の解説：（a）は（2）、（b）は（4）
STEP1 (a) 分圧の関係から伝達関数を求める
$$\dot V_o=\frac{1/(j\omega C)}{R+j\omega L+1/(j\omega C)}\dot V_i$$
分母分子にjωCを掛けて整理すると、$$G(j\omega)=\frac{1}{1-\omega^2LC+j\omega CR}$$
これは選択肢(2)と一致します。
STEP2 (b) R=1，L=0.01，C=100μFを代入する
$$G(j\omega)=\frac{1}{(1-\omega^2\times10^{-6})+j\omega\times10^{-4}}$$
STEP3 代表的なωでのゲインを計算する
ω=0のとき：分母は1なので g=0dB（(4)(5)が該当）
ω=1000のとき：分母の実部は1-1=0に近づき、共振によりg≈20dB程度まで持ち上がる（(1)(4)が該当）
ω=10000のとき：分母が非常に大きくなりg≈-40dB程度まで下降（(3)(4)(5)が該当）
STEP4 3条件すべてを満たす選択肢を選ぶ
0dBスタート・ω=1000付近で共振ピーク・ω=10000で大きく下降という3条件をすべて満たすのは(4)のみです。
答え：(a)-(2)，(b)-(4)
💡 覚え方
RLC直列回路（C両端出力）の伝達関数はG(jω)=1/(1-ω²LC+jωCR)。共振角周波数はω²LC≈1付近、Rが小さいほど共振ピークが鋭くなる。
⚠️ よくある間違い
分母の符号を(1+ω²LC)としない（正しくは1-ω²LC、これが共振を生む項）。ボード線図の選択は見た目でなく、代表点のdB値を計算して絞り込むこと。
まとめ
| G(jω) | 1/(1-ω²LC+jωCR) |
| ω=0 | 0dB |
| ω=1000付近 | 共振ピーク（約20dB） |
| ω=10000 | 約-40dB |
| 答え | (a)-(2)，(b)-(4) |
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