自動制御4【電験3種機械】T,K付きブロック線図から周波数伝達関数とボード線図を求める！平成27年度 B問題17 完全解説

2026年7月10日2026年8月4日

電験3種機械科目自動制御平成27年度 B問題17 TとKで決まる周波数特性！ボード線図はどれ？

今回は平成27年度機械科目 B問題17を解説します。T＝0.2s、K＝10としたフィードバック接続ブロック線図から、全体の周波数伝達関数W(jω)を求める(a)と、そのボード線図のゲイン特性を選ぶ(b)の2段構成です。

(a)は単位フィードバックの閉ループ公式でW(jω)＝K/(1+jωT)の形に整理します。(b)は低域ゲイン20log10K〔dB〕と折れ点角周波数1/T＝5〔rad/s〕の2点を読み取れば選択肢を絞り込めます。

平成27年度機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目自動制御平成27年度 B問題17 問題文 — 平成27年度機械科目 B問題17 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成27年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題17

電験3種機械科目【自動制御】平成27年度 B問題17

　図に示すように，フィードバック接続を含んだブロック線図がある。このブロック線図において，T=0.2s，K=10としたとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし，ωは角周波数[rad/s]を表す。

（a）入力をR(jω)，出力をC(jω)とする全体の周波数伝達関数W(jω)として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）10/(1+j0.2ω)　（2）1/(1+j0.2ω)　（3）1/(1+j5ω)　（4）50ω/(1+j5ω)　（5）j2ω/(1+j0.2ω)

（b）(a)で求めた周波数伝達関数W(jω)のボード線図のゲイン特性として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。実線が正確な特性、破線が折線近似特性を表す。

（1）20dBから始まり折れ点角周波数ω=5で-20dB/decの下り
（2）20dBから始まり折れ点角周波数ω=0.2で-20dB/decの下り
（3）0dBから始まり折れ点角周波数ω=5で-20dB/decの下り
（4）0dBから始まり折れ点角周波数ω=0.2で-20dB/decの下り
（5）0dBから始まり折れ点角周波数ω=0.5で-20dB/decの下り

出題のポイント：閉ループにすると K はどうなるか

(a)は閉ループ伝達関数を求める問題です。本問では K が分子に残ります——前問の構成とは違うので、公式を機械的に当てはめるのではなく式で確かめましょう。

閉ループ伝達関数

\( W(j\omega)=\dfrac{G}{1+GH} \)

分子は前向き経路、分母は 1＋一巡伝達関数——どの要素が前向きでどれが帰還かを図から読み取ります。

\( W(j\omega)=\dfrac{K}{1+j\omega T}=\dfrac{10}{1+j0.2\omega} \)

整理した結果
K＝10、T＝0.2

分子に K＝10 が残る形になりました。これが分かれば(b)のボード線図はすぐ描けます。

Kの手前から単位負帰還するブロック線図を内側ループと全体に分け、W(jω)=K/(1+jωT)へ整理する図 — 帰還の分岐点を確認し、内側ループを先に閉じます。

(b) ボード線図を読み取る2つの数値

K/(1＋jωT) の形なら、必要な数値は2つだけです。低域ゲインと折れ点角周波数——これで選択肢が一つに決まります。

\( 20\log_{10}K=20\log_{10}10=20\ [\mathrm{dB}] \)

低域ゲイン
★K が分子にあるので0 dB ではない

\( \omega_c=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0.2}=5\ [\mathrm{rad/s}] \)

折れ点角周波数
★T の逆数

要素	低域のゲイン	折れ点角周波数	高域の傾き
比例 K	20log₁₀K dB（一定）	なし	0（水平のまま）
一次遅れ 1/(1＋jωT)	0 dB	1/T	−20 dB/dec
K/(1＋jωT)	★20log₁₀K dB	1/T	−20 dB/dec
積分 1/(jωT)	—（右下がり一直線）	なし	−20 dB/dec

平成27年度機械B問題17の伝達関数とゲイン特性を計算し、aとbはいずれも選択肢1と示す図 — W(jω)＝10/(1＋j0.2ω)で、ゲイン特性も（1）です。

答え(a)の正解は (1) 10/(1＋j0.2ω)、(b)の正解は (1) 20 dB から始まり ω＝5 で −20 dB/decです。

⚠️ よくある間違い
折れ点を「0.2」としている選択肢はT をそのまま答えたもの——折れ点は時定数の逆数です。
低域を「0 dB」としている選択肢はK を見落としたもの——分子に K があれば 20log₁₀K です。
K＝10 なら20 dB、K＝100 なら40 dB——「10倍で20 dB」という関係を覚えておけば暗算できます。

dB の感覚を身につける

ボード線図の問題では、20log₁₀K の計算が頻出します。よく出る値を覚えておくと速いでしょう。

K	20log₁₀K	覚え方
1	0 dB	基準
√2	3 dB	電力が2倍＝折れ点
2	6 dB	倍で6 dB
10	★20 dB	10倍で20 dB
100	40 dB	10倍ごとに20 dB

「10倍で20 dB、2倍で6 dB」——この2つを覚えておけば、たいていの値は組み合わせで出せます。たとえば K＝20 なら 20＝10×2 なので 20＋6＝26 dBです。

−20 dB/dec という傾きも同じ考え方。「dec」は10倍（decade）——周波数が10倍になるとゲインが1/10（−20 dB）になるという意味です。

「oct」（オクターブ＝2倍）で表せば −6 dB/oct——同じ傾きを別の単位で言っているだけです。電験では dec が使われるのが普通になっています。

⏱️ 本番での進め方
①(a) 閉ループ公式で整理。分子に K が残るか確認。
②(b) 低域ゲイン＝20log₁₀K＝20 dB。
③ 折れ点＝1/T＝1/0.2＝5 rad/s。★逆数。
④ 2つの数値だけで選択肢が決まる。

💡 覚え方
「K/(1＋jωT) は 20log₁₀K dB から始まり 1/T で折れる」——ボード線図の問題はこの形がほとんど。そして「10倍で20 dB」——これだけ覚えておけば計算に困りません。

W(jω)=10/(1+j0.2ω)のボード線図で低域20dB、折れ点5rad/s、傾きマイナス20dB毎decを示す図 — T＝0.2なので折れ点は1/T＝5 rad/s、低域ゲインは20 dBです。

開ループと閉ループでボード線図はどう変わるか

本問は閉ループのボード線図でした。開ループのものと比べておくと、両者の関係が見えてきます。

	開ループ（一巡）	閉ループ
低域ゲイン	大きい（K に比例）	★1 に近づく（0 dB）か、K/(1＋K)
帯域幅	狭い	★広がる
用途	安定判別	応答の評価

フィードバックをかけると、ゲインは下がるが帯域は広がる——「ゲイン帯域幅積は一定」という関係になります。ゲインを犠牲にして速さと安定さを買っているわけです。

本問では閉ループでも低域ゲインが20 dB 残りました——K が分子に残る構成だったからです。単位フィードバックで前向きが K だけなら K/(1＋K) になる——ブロック線図の構成しだいで結果が変わる点に注意してください。

ゲイン交差周波数と位相余裕

開ループのボード線図で重要なのが、ゲインが0 dB を横切る周波数です。ゲイン交差周波数と呼ばれます。

その周波数での位相が −180°からどれだけ離れているか——これが位相余裕。一般に40〜60°あれば良好とされます。

位相余裕が小さいと、応答が振動的になります——0°なら発振。ボード線図から安定性の「余裕」まで読み取れるのが、この図が広く使われている理由です。

B問題は(a)を落とすと(b)も落ちる

本問のようなB問題では、(a)の結果を(b)で使います——(a)を間違えると(b)も連鎖して失点する構造です。

だから(a)は必ず検算してください。本問なら「ω＝0 を代入して10 になるか」——直流ゲインが K＝10 になるはずだと確かめられます。

検算の方法	本問での確認
ω→0（直流）	W＝10。低域ゲイン20 dB と整合
ω→∞	W→0。高域で減衰する形と整合
次数	分母が一次＝折れ点は1つ

(b)の選択肢から(a)を逆算するという手もあります。「20 dB から始まりω＝5 で折れる」なら K＝10、T＝0.2——(a)の答えと一致するのが確かめられます。

2つの設問が同じ内容を別の形で聞いている——互いに検算に使えるのがB問題の構造です。時間があれば必ず突き合わせるようにしてください。