自動制御2【電験3種 機械】内側フィードバックループと並列経路のブロック線図！平成30年度 A問題13 完全解説

今回は平成30年度 機械科目 A問題13を解説します。内側に単位フィードバックループ「1/(jωT2)」を持ち、外側に並列経路「T1/T2」が加わるブロック線図から、出力C(jω)と入力R(jω)の比を求める問題です。

まず内側のフィードバックループだけを閉ループ伝達関数の公式でまとめ、次に並列のフィードフォワード経路を足し合わせるという2段階の等価変換で解きます。

平成30年度 機械科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 平成30年度 A問題13

　図のようなブロック線図で示す制御系がある。出力信号C(jω)の入力信号R(jω)に対する比，すなわちC(jω)/R(jω)を示す式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）(T1+jω)/(T2+jω)
（2）(T2+jω)/(T1+jω)
（3）jωT1/(1+jωT2)
（4）(1+jωT1)/(1+jωT2)
（5）(1+jω(T1/T2))/(1+jωT2)

出題のポイント：内側ループを先に等価変換

複合ブロック線図は、内側の単位負帰還ループを1/(1＋jωT₂)へまとめてから、並列経路T₁/T₂を加えます。ループと並列経路を一度に処理せず、内側から外側へ二段階で整理するのが安全です。

ポイント解説：分子T₁・分母T₂になる整理手順

内側に単位フィードバックループを持つブロック線図は、まずそのループ単独の閉ループ伝達関数を求め、次に並列経路を足し合わせるという2段階で簡略化するのが定石です。

単位フィードバックループの閉ループ伝達関数は「前向き伝達関数／(1+前向き伝達関数)」の形になります。

問題の解説：(1＋jωT₁)/(1＋jωT₂)の（4）

STEP1　内側フィードバックループを閉ループ公式でまとめる

内側ループのブロックは1/(jωT2)、フィードバックは単位（ゲイン1）なので、閉ループ伝達関数は

$$\frac{1/(j\omega T_2)}{1+1/(j\omega T_2)}=\frac{1}{1+j\omega T_2}$$

STEP2　並列のフィードフォワード経路T1/T2を加味する

並列経路T1/T2は分岐点から最終加算点へ直接加わるため、

$$\frac{C(j\omega)}{R(j\omega)}=\frac{1}{1+j\omega T_2}\times\left(1+j\omega T_2\times\frac{T_1}{T_2}\right)$$

STEP3　式を整理する

$$\frac{C(j\omega)}{R(j\omega)}=\frac{1+j\omega T_1}{1+j\omega T_2}$$

これは選択肢(4)と一致します。

答え：(4)

まとめ

内側ループ	1/(1+jωT2)
並列経路加味後	(1+jωT1)/(1+jωT2)
答え	(4)

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