単相交流61【電験3種理論】位相の異なる2電源の合成電圧の大きさと位相を求める！平成18年度 A問題8 完全解説

2026年7月12日2026年7月28日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）平成18年度 A問題8 位相のずれた2つの電源！合成電圧は何Vで何度？

今回は平成18年度理論科目 A問題8を解説します。e₁＝E sin(ωt+θ)とe₂＝√3E sin(ωt+θ+π/2)が直列のとき、合成電圧vの最大値（e₁の何倍か）と位相を求める問題です。

e₂はe₁よりπ/2（90°）進んでいます。フェーザ（複素数）でe₁を実軸、e₂を虚軸方向に置いて合成すると、大きさと位相が求まります。

平成18年度理論科目 A問題8：問題文と選択肢

平成18年度の公式問題を収録した下の問題画像で、2電源の向き、正弦波式、5つの組合せを確認しながら進めます。公式問題画像と既存の問題図は原資料として保持します。電気技術者試験センターの現在の第三種過去問題一覧と照合方針も確認しています。

電験3種理論科目単相交流平成18年度 A問題8 問題文 — 平成18年度理論科目 A問題8 問題文

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】平成18年度 A問題8

　図のように、二つの正弦波交流電圧源 e₁〔V〕、e₂〔V〕が直列に接続されている。e₁＝E sin(ωt+θ)、e₂＝√3E sin(ωt+θ+π/2)であるとき、合成電圧v〔V〕の最大値はe₁の最大値の（ア）倍となり、位相は（イ）〔rad〕の（ウ）となる。上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)及び(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいのは次のうちどれか。

（ア）倍（イ）〔rad〕（ウ）
(1) 1/2 π/3 進み
(2) 1+√3 π/6 遅れ
(3) 2 2π/3 進み
(4) √3 π/6 遅れ
(5) 2 π/3 進み

	（ア）倍	（イ）〔rad〕	（ウ）
(1)	1/2	π/3	進み
(2)	1+√3	π/6	遅れ
(3)	2	2π/3	進み
(4)	√3	π/6	遅れ
(5)	2	π/3	進み

出題のポイント：90°ずれた2つのベクトルは三平方の定理で合成する

$e_2$ は $e_1$ より $\pi/2$（90°）進んでいます。90°ずれているということは、ベクトル図では直角——合成は三平方の定理で求まります。

大きさを単純に足してはいけません。$1+\sqrt3=2.73$ は選択肢(2)に用意されていますが、向きが違うベクトルをスカラーのように足した誤りです。

直交する2つのベクトルの合成

$$|\dot V|=\sqrt{E^2+(\sqrt3E)^2}=\sqrt{4E^2}=2E\qquad\phi=\tan^{-1}\frac{\sqrt3E}{E}=\frac{\pi}{3}$$

※$1:\sqrt3:2$ は30-60-90度の直角三角形です。$\sqrt3$ が出てきたら、この三角形を思い浮かべるのが定石になります。

平成18年度理論科目A問題8の出題ポイント。同じ向きに直列接続された電圧源e1とe2、およびe1を横E、e2を縦√3Eとして合成し2E・π/3進みを示すフェーザ図 — π/2だけ位相が異なる電圧は直角方向のフェーザとして合成します。横E、縦√3Eから合成は2E、e1よりπ/3進みです。

フェーザで合成する

$e_1$ を基準（実軸）に置くと、$e_2$ は90°進みなので虚軸方向になります。複素数で書けば足し算だけです。

$$\dot E_1=E\angle0^\circ=E$$

❶ 基準ベクトル
実軸に置く

$$\dot E_2=\sqrt3E\angle90^\circ=j\sqrt3E$$

❷ 90°進み
虚軸方向

$$\dot V=E+j\sqrt3E\;\Longrightarrow\;|\dot V|=2E,\;\phi=60^\circ=\frac{\pi}{3}$$

❸ 合成
大きさ2倍、位相 $\pi/3$ 進み

$\tan^{-1}\sqrt3=60^\circ$——$60^\circ$ は $\pi/3\;\mathrm{rad}$ です。度数法とラジアンの換算も確実にしておいてください。$180^\circ=\pi$ なので $60^\circ=\pi/3$、$30^\circ=\pi/6$ です。

「進み」になる理由も押さえておきましょう。$e_2$ が進んでいるので、合成した $\dot V$ も $e_1$ より進む側に寄ります。しかも $e_2$ のほうが大きい（$\sqrt3$ 倍）ので、90°の半分より進み側（60°）に寄る——計算結果とも一致します。

e1＝E sin(ωt＋θ)、e2＝√3E sin(ωt＋θ＋π/2)をフェーザEとj√3Eへ変換し、2E∠π/3から合成波形へ戻す図 — 共通位相θを保ったまま相対フェーザを加えると、合成波形はv＝2E sin(ωt＋θ＋π/3)になります。

答え（ア）2倍　（イ）$\pi/3$　（ウ）進み　→　選択肢(5)

平成18年度理論科目A問題8の解説1枚目。2電源の加算極性を確認し、各正弦波の最大値と相対位相をフェーザEおよびj√3Eへ読み替える図 — 問題の解説1/3。公式図の加算極性と共通位相を確認し、時間領域の2電圧を相対フェーザへ変換します。

誤答の正体：スカラーとして足すか、角度を取り違えるか

	（ア）	（イ）	（ウ）	この肢に落ちる誤り
(1)	1/2 ×	$\pi/3$	進み	大きさが1未満はあり得ない
(2)	$1+\sqrt3$ ×	$\pi/6$ ×	遅れ ×	スカラーとして足した
(3)	2	$2\pi/3$ ×	進み	角度を120°と誤る
(4)	$\sqrt3$ ×	$\pi/6$ ×	遅れ ×	$e_2$ の係数をそのまま答える
(5)	2	$\pi/3$	進み	◎ 正解

(2)の $1+\sqrt3$ が最も典型的な誤りです。$2.73$ という値そのものは計算できますが、90°ずれたベクトルには使えません。ベクトルは必ず成分に分けてから合成してください。

(3)の $2\pi/3$（120°）は、$\tan^{-1}$ を取り違えた場合です。$\tan60^\circ=\sqrt3$、$\tan120^\circ=-\sqrt3$——符号が違います。第1象限にあるベクトルの角度は0〜90°の範囲ですから、120°はあり得ません。

⚠️ よくある間違い
「進み」と「遅れ」の判定も落とし穴です。$e_2$ が進んでいるのだから、合成も進む——これを逆にすると(2)(4)に着地します。基準より進んだベクトルを足せば、合成も進む側へ回ると覚えてください。

深掘り①：三角比の代表値を確実にする

交流の問題では、特定の角度が繰り返し登場します。その値を暗記しておくと、計算が一気に速くなります。

角度	ラジアン	$\sin$	$\cos$	$\tan$	対応する直角三角形
30°	$\pi/6$	0.5	0.866	0.577	$1:\sqrt3:2$
45°	$\pi/4$	0.707	0.707	1	$1:1:\sqrt2$
60°	$\pi/3$	0.866	0.5	$\sqrt3$	$1:\sqrt3:2$

本問は $\tan\phi=\sqrt3$ なので60°——表を見れば一瞬です。逆に $\tan\phi=1/\sqrt3=0.577$ なら30°になります。

力率との対応も覚えておくと便利です。位相差60°なら力率 $\cos60^\circ=0.5$、45°なら0.707、30°なら0.866——電験ではこの3つがほとんどです。

$\sqrt3$ は三相交流でも頻出します。線間電圧が相電圧の $\sqrt3$ 倍になるのも、120°ずれた2つのベクトルを合成した結果です。本問の合成と同じ考え方が使われています。

深掘り②：なぜ瞬時値ではなくフェーザで計算するのか

本問を瞬時値のまま合成しようとすると、三角関数の加法定理が必要になります。フェーザ（複素数）を使えば、単なる足し算で済みます。

$$v=E\sin(\omega t+\theta)+\sqrt3E\sin\left(\omega t+\theta+\frac{\pi}{2}\right)$$

瞬時値のまま
加法定理が必要で面倒

$$\dot V=\dot E_1+\dot E_2=E+j\sqrt3E$$

フェーザなら
複素数の足し算だけ

フェーザが使えるのは、すべての量が同じ角周波数だからです。$\omega$ が共通なら、時間的な回転を取り除いて「大きさと位相」だけで表せます。

逆に言えば、周波数が違う成分が混ざっている場合はフェーザが使えません。ひずみ波の問題では、成分ごとに分けて計算する必要があります——これは別の年度で問われるテーマです。

💡 覚え方
「90°ずれたら三平方、同相なら足し算」——ベクトル合成の基本です。中間の角度なら余弦定理ですが、電験で出るのはほとんど0°・90°・120°です。

⏱️ 本番での進め方
❶ 90°ずれ＝直角。三平方の定理で合成する。単純な足し算は不可。
❷ $1:\sqrt3:2$ を思い出す。$\tan^{-1}\sqrt3=60^\circ=\pi/3$。
❸ 進みか遅れかは「大きいほうに引っ張られる」。$e_2$ が進みなら合成も進み。
❹ 度とラジアンの換算。$60^\circ=\pi/3$、$30^\circ=\pi/6$、$45^\circ=\pi/4$。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

★重要：令和6年度下期に「選択肢を入れ替えて」再出題された

令和6年度下期A問題8は、本問とまったく同じ問題です。問題文の数式も選択肢の中身も同じ——違うのは選択肢(3)と(5)が入れ替わっていることだけです。

	本問（平成18年度 A問題8）	令和6年度下期 A問題8
問題文・数式	完全に同一	完全に同一
答えの中身	2倍・$\pi/3$・進み	2倍・$\pi/3$・進み（同じ）
選択肢(3)	$2$ / $2\pi/3$ / 進み	$2$ / $\pi/3$ / 進み　←正答
選択肢(5)	$2$ / $\pi/3$ / 進み　←正答	$2$ / $2\pi/3$ / 進み
正答番号	(5)	(3)