今回は令和6年度下期 理論科目 A問題8を解説します。e₁＝E sin(ωt+θ)とe₂＝√3E sin(ωt+θ+π/2)が直列のとき、合成電圧vの最大値（e₁の何倍か）と位相を求める問題です。
e₂はe₁よりπ/2 rad（90°）進みます。フェーザ法に加え、三角関数の係数比較、振幅公式、最大となる時刻、全選択肢の照合でも独立に検算します。
令和6年度下期 理論科目 A問題8：問題文と選択肢
まずは、令和6年度下期に実際に出題された問題文と選択肢を確認しましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和6年度下期 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題8
電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 令和6年度下期 A問題8
図のように、二つの正弦波交流電圧源e₁〔V〕、e₂〔V〕が直列に接続されている回路において、合成電圧v〔V〕の最大値はe₁の最大値の（ア）倍となり、その位相はe₁を基準として（イ）〔rad〕の（ウ）となる。ただし、e₁＝E sin(ωt+θ)〔V〕、e₂＝√3E sin(ωt+θ+π/2)〔V〕とする。上記の記述中の空白箇所（ア）〜（ウ）に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（ア）倍 （イ）〔rad〕 （ウ） (1) 1/2 π/3 進み (2) 1+√3 π/6 遅れ (3) 2 π/3 進み (4) √3 π/6 遅れ (5) 2 2π/3 進み
出題のポイント：90°ずれた2つのベクトルは三平方で合成する
\(e_2\) は \(e_1\) より90°進んでいます。ベクトル図では直角——合成は三平方の定理です。大きさを単純に足した \(1+\sqrt3=2.73\) は選択肢(2)に用意されています。
\(1:\sqrt3:2\) は30-60-90度の直角三角形です。\(\tan^{-1}\sqrt3=60^\circ=\pi/3\)——\(\sqrt3\) を見たらこの三角形を思い浮かべてください。
解説：フェーザでも三角関数でも同じ
\(e_1\) を実軸に置く
三角関数の合成でも確かめられます。\(x=\omega t+\theta\) と置くと \(v=E\sin x+\sqrt3E\cos x\)（\(\sin(x+\pi/2)=\cos x\) だから）。これは \(2E\sin(x+\pi/3)\) にまとまります。
\(x=\pi/6\)（30°）を代入してみましょう。\(e_1=E\sin30^\circ=E/2\)、\(e_2=\sqrt3E\cos30^\circ=3E/2\)——合計 \(2E\) で最大値になります。\(x+\pi/3=\pi/2\) だから当然です。
★重要：平成18年度と「同じ答えなのに番号が違う」
本問は平成18年度A問題8とまったく同じ問題です。問題文の数式も選択肢の中身も同じ——違うのは選択肢(3)と(5)が入れ替わっていることだけです。
| 平成18年度 A問題8 | 令和6年度下期 A問題8 | |
| 問題文・数式 | 完全に同一 | 完全に同一 |
| 答えの中身 | 2倍・\(\pi/3\)・進み | 2倍・\(\pi/3\)・進み（同じ） |
| 選択肢(3) | \(2\) / \(2\pi/3\) / 進み | \(2\) / \(\pi/3\) / 進み ←正答 |
| 選択肢(5) | \(2\) / \(\pi/3\) / 進み ←正答 | \(2\) / \(2\pi/3\) / 進み |
| 正答番号 | (5) | (3) |
答えの中身は「2倍・\(\pi/3\)・進み」でまったく同じなのに、正答番号は(5)から(3)へ移りました。18年の時を経て再出題され、しかも選択肢の順序が変えられている——番号暗記の危険性を示す明確な実例です。
⚠️ よくある間違い
「この問題の答えは(5)」と番号で覚えていた人は、令和6年度下期で確実に落とします。覚えるべきは「2倍・\(\pi/3\)・進み」という中身、さらに言えば「90°ずれは三平方、\(1:\sqrt3:2\) は60°」という解き方です。
あわせて解いておきたい記事：【理論】平成18年度A問題8
誤答の正体：スカラーとして足すか、角度を取り違えるか
| （ア） | （イ） | （ウ） | この肢に落ちる誤り | |
| (1) | 1/2 × | \(\pi/3\) | 進み | 大きさが1未満はあり得ない |
| (2) | \(1+\sqrt3\) × | \(\pi/6\) × | 遅れ × | スカラーとして足した |
| (3) | 2 | \(\pi/3\) | 進み | ◎ 正解 |
| (4) | \(\sqrt3\) × | \(\pi/6\) × | 遅れ × | \(e_2\) の係数をそのまま |
| (5) | 2 | \(2\pi/3\) × | 進み | 角度を120°と誤る |
(5)の \(2\pi/3\)（120°）は、\(\tan^{-1}\) の値を取り違えた場合です。\(\tan60^\circ=\sqrt3\)、\(\tan120^\circ=-\sqrt3\)——符号が違います。第1象限のベクトルなので0〜90°の範囲です。
大きさで(1)(2)(4)が消え、角度で(5)が消えます。「2倍」を確定させれば、あとは \(\pi/3\) か \(2\pi/3\) かの二択——実質2ステップです。
深掘り：\(a\sin x+b\cos x\) の合成公式
本問の合成は、三角関数の合成公式そのものです。覚えておくと、位相のずれた2つの正弦波を扱う問題全般に使えます。
本問では \(a=E\)、\(b=\sqrt3E\) なので、\(\sqrt{E^2+3E^2}=2E\)、\(\tan\alpha=\sqrt3\Rightarrow\alpha=\pi/3\)——フェーザと同じ結果です。
この公式が使えるのは、両方が同じ角周波数だからです。周波数が違えば合成できません——ひずみ波として別々に扱う必要があります。
| \(a:b\) | 合成の大きさ | 位相 \(\alpha\) |
| \(1:1\) | \(\sqrt2\) | 45°（\(\pi/4\)） |
| \(1:\sqrt3\)（本問） | 2 | 60°（\(\pi/3\)） |
| \(\sqrt3:1\) | 2 | 30°（\(\pi/6\)） |
| \(3:4\) | 5 | 53° |
💡 覚え方
「係数の比が \(1:\sqrt3\) なら60°、\(\sqrt3:1\) なら30°」——どちらも大きさは2倍です。比を見た瞬間に角度が浮かぶようにしておくと速く解けます。
⏱️ 本番での進め方
❶ 90°ずれ＝直角。三平方で合成する。
❷ \(1:\sqrt3:2\) を思い出す。角度は60°＝\(\pi/3\)。
❸ 大きいほうに引っ張られる。\(e_2\) が進みなら合成も進み。
❹ 番号で覚えない。同じ問題で正答番号が(5)から(3)へ変わっている。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
まとめ
| フェーザ | v＝E＋j√3E |
| 大きさ | 2E（2倍） |
| 位相 | arctan√3＝π/3 |
| 答え | 2倍・π/3・進み …(3) |
問題文は試験センター公式問題PDF（理論 問8、印刷ページ-8-）、正答(3)は公式解答PDFで照合しました。
▼あわせて解きたい関連問題
・交流の合成・フェーザの関連問題：【理論】令和3年度A問題8
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