単相交流58【電験3種理論】周波数を変えたときのRC直列回路の力率を求める！平成19年度 A問題8 完全解説

2026年7月12日2026年7月28日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）平成19年度 A問題8 周波数が変われば力率も変わる！何倍になる？

今回は平成19年度理論科目 A問題8を解説します。8Ωの抵抗とコンデンサの直列回路で、50Hzのとき力率80%。周波数を25Hzにしたときの力率を求める問題です。

力率cosθ＝R/√(R²+Xc²)。50Hzの力率からXcを求め、周波数が半分になるとXc（∝1/f）が2倍になることを使って25Hzの力率を計算します。

平成19年度理論科目 A問題8：問題文と選択肢

平成19年度の公式問題を収録した下の問題画像で、回路条件と選択肢を確認しながら進めます。画像は原資料として保持しています。電気技術者試験センターの現在の第三種過去問題一覧と照合方針も確認しています。

電験3種理論科目単相交流平成19年度 A問題8 問題文 — 平成19年度理論科目 A問題8 問題文

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】平成19年度 A問題8

　8〔Ω〕の抵抗と静電容量C〔F〕のコンデンサを直列に接続した交流回路がある。この回路に周波数50〔Hz〕の交流電圧を加えたとき、回路の力率は80%であった。この回路に加える交流電圧の周波数を25〔Hz〕に変えたとき、回路の力率〔%〕の値として、最も近いのは次のうちどれか。

（1）40%　（2）42%　（3）56%　（4）60%　（5）83%

出題のポイント：力率は周波数に単純比例しない

周波数を半分にすると $X_C$ は2倍になります。ところが力率は半分にはなりません——$\cos\theta=R/\sqrt{R^2+X_C^2}$ という形なので、単純な比例関係にないからです。

まず50 Hz での $X_C$ を逆算するのが手順です。力率80%なら $R:|\dot Z|=8:10$——3:4:5 の直角三角形で $X_C=6\;\Omega$ と分かります。

RC直列回路の力率

$$\cos\theta=\frac{R}{\sqrt{R^2+X_C^2}}\qquad X_C=\frac{1}{2\pi fC}\;\propto\;\frac1f$$

※$C$ の値は求める必要がありません。$X_C$ が周波数に反比例することだけ使えば十分です。

平成19年度理論科目A問題8の出題ポイント。直列RC回路で周波数を50 Hzから25 Hzへ半分にすると容量リアクタンスXcが2倍になり、力率が低下することを回路図とインピーダンス三角形で示す図 — 容量リアクタンスは周波数に反比例します。周波数が半分になるとXcは2倍になり、直列RC回路の力率は低下します。

解説：3ステップで求まる

$$|\dot Z|_{50}=\frac{R}{\cos\theta}=\frac{8}{0.8}=10\;\Omega$$

❶ 50 Hz のインピーダンス

$$X_{C50}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\;\Omega$$

❷ リアクタンスを逆算
3:4:5 の三角形

$$X_{C25}=6\times\frac{50}{25}=12\;\Omega$$

❸ 25 Hz では2倍
周波数が半分なら $X_C$ は2倍

$$\cos\theta_{25}=\frac{8}{\sqrt{8^2+12^2}}=\frac{8}{14.42}=0.555$$

❹ 新しい力率
≒56%

$\sqrt{64+144}=\sqrt{208}$ は整数比になりません。50 Hz のときは3:4:5 だったのに、25 Hz では崩れる——この場合は素直に計算します。$\sqrt{208}=14.42$ です。

答えの見当もつけられます。周波数を下げる → $X_C$ が増える → $|\dot Z|$ が増える → 力率は下がる。80%より小さいはずなので、(5)83%は除外できます。

力率0.80と抵抗8オームから50 Hz時のインピーダンス10オーム、容量リアクタンス6オームを三平方の定理で導く図 — 力率cosθ＝R/|Z|から|Z|＝10 Ωを求め、インピーダンス三角形からXc＝6 Ωを逆算します。

答え力率 ≒ 56%　→　選択肢(3)

平成19年度理論科目A問題8の解説1枚目。直列RC回路の力率0.80と抵抗8オームから50 Hz時の容量リアクタンス6オームを導く図 — 問題の解説1/3。周波数変化の基準となる50 Hz時の容量リアクタンスを、力率とインピーダンス三角形から求めます。

平成19年度理論科目A問題8の解説2枚目。周波数を25 Hzへ半減すると容量リアクタンスが12オームになり、力率が約55.47パーセントになる導出図 — 問題の解説2/3。Xcは周波数に反比例するため12 Ωとなり、合成インピーダンスから力率約55.47 %を求めます。

誤答の正体：力率も半分と考える

誤り方	考え方	値	選択肢
力率も半分になると考える	$80\div2$	40%	(1)
$X_C$ が半分になると誤る	$X_C=3\;\Omega$	94%	選択肢になし
正しい計算	$X_C=12\;\Omega$	56%	(3) ◎

(1)の40% が最も引っかかりやすい誤りです。「周波数が半分だから力率も半分」——もっともらしく見えますが、力率は $R$ と $X_C$ の比から決まる量で、周波数に比例はしません。

実際にどう変わるかを確かめてみましょう。周波数を半分にすると $X_C$ は2倍、$|\dot Z|$ は10→14.42（1.44倍）、力率は0.8→0.555（0.69倍）——どれも単純な比例ではありません。

⚠️ よくある間違い
「$X_C$ は周波数に反比例」を「比例」と取り違えると、$X_C=3\;\Omega$ となって力率94%——選択肢にありません。選択肢に無い値が出たら、比例・反比例を疑ってください。

深掘り①：周波数と力率の関係をグラフで見る

RC直列回路では、周波数が高いほど力率がよくなります。$X_C$ が小さくなって、回路が抵抗に近づくからです。

周波数	$X_C$〔Ω〕	$\|\dot Z\|$〔Ω〕	力率
12.5 Hz	24	25.3	32%
25 Hz（本問）	12	14.4	56%
50 Hz	6	10	80%
100 Hz	3	8.5	94%
$f\to\infty$	0	8	100%

周波数を上げていくと、力率は1に近づきます。コンデンサが短絡と同じになり、抵抗だけの回路になるからです。逆に周波数を下げると力率は0に近づきます。

RL直列回路なら正反対です。周波数を上げると $X_L$ が増えて力率が悪くなります。どちらの回路かで方向が逆になるので、問題文でRCかRLかを確認してください。

深掘り②：力率の変化を「比」で追う

この種の問題は、$R$ を基準にした比で考えると見通しがよくなります。$R=8$ を1とすると、$X_C$ の比だけが変化します。

$$\frac{X_C}{R}=\frac{6}{8}=0.75\;(50\;\mathrm{Hz})\;\to\;\frac{12}{8}=1.5\;(25\;\mathrm{Hz})$$

比の変化
2倍になる

$$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+(X_C/R)^2}}$$

力率の式
比だけで決まる

$X_C/R=0.75$ なら $\cos\theta=1/\sqrt{1.5625}=0.8$、$X_C/R=1.5$ なら $1/\sqrt{3.25}=0.555$——$R$ や $X_C$ の絶対値は関係ありません。

この見方をすると、「$R$ が何オームでも同じ答え」だと分かります。本問で $R=8\;\Omega$ と具体的な値が与えられているのは、$X_C$ を求めやすくするためにすぎません。

💡 覚え方
「力率は $X/R$ の比だけで決まる」——絶対値ではなく比です。比が2倍になったときの力率変化を追うのが、この種の問題の型になります。

⏱️ 本番での進め方
❶ $|\dot Z|=R/\cos\theta$ から $X_C$ を逆算する。$C$ は求めなくてよい。
❷ $X_C\propto1/f$。周波数が半分なら $X_C$ は2倍。
❸ 力率の増減の向きを予想する。周波数を下げる→力率も下がる。
❹ 3:4:5 に気づく。$R=8$、$|\dot Z|=10$ なら $X_C=6$。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。