単相交流51【電験3種理論】容量性リアクタンスを直列接続したときの力率変化からXcを求める！平成22年度 A問題8 完全解説

2026年7月12日2026年7月28日

電験3種理論科目電気回路（単相交流）平成22年度 A問題8 Cを直列に足して力率が変化！Xcはいくつ？

今回は平成22年度理論科目 A問題8を解説します。R・XL直列回路の力率が1/2のとき、容量性リアクタンスXcを直列に加えると力率が√3/2（遅れ）になった。このXcを表す式を求める問題です。

力率cosφ＝R/|Z|＝R/√(R²+X²)。最初の条件からXLを求め、Xcを加えた後の条件から(XL−Xc)を求めます。両者からXcを導きます。

平成22年度理論科目 A問題8：問題文と選択肢

電気技術者試験センター公表の公式問題PDF（理論問8）と公式解答PDFを確認しながら進めます。下の問題文画像・選択肢は元のまま保持しています。

電験3種理論科目単相交流平成22年度 A問題8 問題文 — 平成22年度理論科目 A問題8 問題文

電験3種理論科目【電気回路（単相交流）】平成22年度 A問題8

　抵抗R〔Ω〕と誘導性リアクタンスX_L〔Ω〕を直列に接続した回路の力率（cosφ）は、1/2であった。いま、この回路に容量性リアクタンスX_C〔Ω〕を直列に接続したところ、R〔Ω〕、X_L〔Ω〕、X_C〔Ω〕直列回路の力率は、√3/2（遅れ）になった。容量性リアクタンスX_C〔Ω〕の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。

（1）R/√3　（2）2R/3　（3）√3R/2　（4）2R/√3　（5）√3R

出題のポイント：力率から直角三角形の辺の比が決まる

力率 $\cos\phi=R/|\dot Z|$ なので、力率が分かればインピーダンス三角形の形が決まります。力率 $1/2$ なら $R:|\dot Z|=1:2$——残る辺は $\sqrt3$ です。

この問題は「変化の前後で三角形がどう変わるか」を追う問題です。$R$ は変わらないので、リアクタンスだけが変化します。2つの三角形を並べて比べるのが解法の骨格になります。

力率とインピーダンス三角形

$$\cos\phi=\frac{R}{\sqrt{R^2+X^2}}\qquad\Longrightarrow\qquad X=R\sqrt{\frac{1}{\cos^2\phi}-1}$$

※力率 $1/2$ なら $X=\sqrt3R$、力率 $\sqrt3/2$ なら $X=R/\sqrt3$——どちらも $1:\sqrt3:2$ の三角形です。

平成22年度理論問8の出題ポイント。抵抗とコイルの直列回路へコンデンサを直列追加し、合成リアクタンスをXLマイナスXCとして遅れ力率を改善する意図を示す図 — コンデンサは誘導性リアクタンスの一部を打ち消し、遅れ力率を1/2から√3/2へ改善します。

解説：2つの状態を順に整理する

$$\frac{R}{\sqrt{R^2+X_L^2}}=\frac12\;\Longrightarrow\;R^2+X_L^2=4R^2$$

❶ 最初の力率から
両辺を2乗して整理

$$X_L=\sqrt3R$$

❷ 誘導性リアクタンス
$1:\sqrt3:2$ の三角形

$$\frac{R}{\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}}=\frac{\sqrt3}{2}\;\Longrightarrow\;(X_L-X_C)^2=\frac{R^2}{3}$$

❸ $X_C$ を加えた後
$\sqrt3:1:2$ の三角形に変わる

$$X_L-X_C=\frac{R}{\sqrt3}\;\Longrightarrow\;X_C=\sqrt3R-\frac{R}{\sqrt3}=\frac{2R}{\sqrt3}$$

❹ $X_C$ を求める
通分すると $(3-1)/\sqrt3=2/\sqrt3$

「遅れ」という指定が重要です。力率 $\sqrt3/2$ だけでは $X_L-X_C$ の符号が決まりませんが、「遅れ」なら誘導性が残っている＝$X_L-X_C>0$ と決まります。

もし「進み」だったら $X_L-X_C=-R/\sqrt3$ となり、$X_C=\sqrt3R+R/\sqrt3=4R/\sqrt3$ です。問題文の一語で答えが変わるので、見落とさないでください。

最後の通分も落ち着いて。$\sqrt3R-R/\sqrt3=R(3-1)/\sqrt3=2R/\sqrt3$——分母を $\sqrt3$ にそろえると間違えません。

抵抗、合成リアクタンス、インピーダンスの直角三角形から力率をリアクタンスへ変換し、遅れと進みで符号を決める考え方を示す図 — 力率はR／|Z|です。二乗してリアクタンスの大きさを求め、遅れなので正と判断します。

答え$X_C=\dfrac{2R}{\sqrt3}$　→　選択肢(4)

平成22年度理論問8の問題解説1枚目。コンデンサ追加前のRとXLの直列回路、追加後のR、XL、XC直列回路を比較し、先にXL、次にXLマイナスXCを求める方針を示す図 — 問題の解説1/3。追加前後の回路を比べ、先にXL、次に残ったXL－XCを求め、差からXCを出します。

平成22年度理論問8の問題解説2枚目。追加前の力率2分の1を使う目的、条件代入、二乗による式変形、正の値の選択を説明し、XLイコール√3Rを導く図 — 問題の解説2/3。力率1/2から、もとの誘導性リアクタンスXL＝√3Rを導きます。

平成22年度理論問8の問題解説3枚目。コンデンサ追加後の合成リアクタンスを置き、力率条件と遅れの意味から残ったリアクタンスを求め、XCイコール√3分の2Rと正解4を導く図 — 問題の解説3/3。追加後も遅れなのでXL－XCは正です。打ち消した差からXC＝2R/√3、正答(4)となります。

誤答の正体：途中の値が選択肢に置かれている

誤り方	値	選択肢	何を答えてしまったか
$X_L$ を答える	$\sqrt3R$	(5)	最初のリアクタンス
$X_L-X_C$ を答える	$R/\sqrt3$	(1)	変化後の合成リアクタンス
正しい計算	$2R/\sqrt3$	(4) ◎	—

(5)と(1)は、どちらも計算の途中で必ず出てくる値です。「求められているのは $X_C$」と最初に丸で囲んでおくのが確実な対策になります。

数値で検算してみましょう。$R=1$ とすると $X_L=1.732$、$X_C=1.155$。$X_L-X_C=0.577=1/\sqrt3$ ✓。$\cos\phi=1/\sqrt{1+0.333}=0.866=\sqrt3/2$ ✓——確かに条件を満たします。

⚠️ よくある間違い
「力率が上がった＝リアクタンスが減った」と考えるのは正しいのですが、減ったのは合成リアクタンス $X_L-X_C$ です。加えた $X_C$ 自体は $1.155R$ と、減少分 $1.155R$ にちょうど等しい——偶然ではなく、$\sqrt3-1/\sqrt3=2/\sqrt3$ という計算の結果です。

深掘り①：力率と三角形の対応を覚える

電験に出る力率はほとんど決まっています。対応する三角形を覚えておくと、計算せずに辺の比が出ます。

力率 $\cos\phi$	位相差	$R:X:\|\dot Z\|$	備考
1.0	0°	$1:0:1$	純抵抗・共振
0.866（$\sqrt3/2$）	30°	$\sqrt3:1:2$	本問の変化後
0.8	37°	$4:3:5$	実務で最も多い値
0.707（$1/\sqrt2$）	45°	$1:1:\sqrt2$	$R=X$
0.5	60°	$1:\sqrt3:2$	本問の変化前

本問は「力率0.5 から0.866 へ改善した」という設定です。三角形で言えば $1:\sqrt3:2$ から $\sqrt3:1:2$ へ——横と縦が入れ替わった形になります。

$|\dot Z|$ も変わっている点に注意してください。変化前は $2R$、変化後は $2R/\sqrt3=1.155R$——インピーダンスが小さくなったので、電流は増えています。

深掘り②：これは力率改善そのもの

誘導性負荷にコンデンサを直列に入れて力率を上げる——本問はまさに力率改善の計算です。ただし実務では「並列」に入れるのが普通です。

	直列に入れる（本問）	並列に入れる（実務）
負荷電圧	変わってしまう	変わらない
負荷電流	変わってしまう	変わらない
電源側の電流	増える	減る
用途	計算問題・特殊用途	力率改善の標準

直列に入れると、負荷にかかる電圧そのものが変わってしまいます。電動機などの負荷は定格電圧で使いたいので、直列に入れるわけにはいきません。

並列なら負荷の条件はそのままで、電源から見た力率だけを改善できます。負荷が必要とする遅れ無効電流を、コンデンサの進み無効電流が肩代わりする——これが進相コンデンサの原理です。

💡 覚え方
「計算問題では直列、実務では並列」——直列のほうが計算が単純なので試験に出やすいだけです。実務の力率改善は必ず並列だと押さえておいてください。

⏱️ 本番での進め方
❶ 力率から三角形の比を出す。0.5 なら $1:\sqrt3:2$、0.866 なら $\sqrt3:1:2$。
❷ 「遅れ」の指定を見落とさない。符号が決まらないと答えが2通りになる。
❸ 求められている量に丸をつける。$X_L$ や $X_L-X_C$ は途中の値。
❹ $R=1$ として数値で検算する。条件を満たすか確認できる。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。