単相交流52【電験3種 理論】コイル（L・r直列）を等価な並列回路に変換する！平成22年度 A問題13 完全解説

今回は平成22年度 理論科目 A問題13を解説します。内部抵抗rをもつコイル（L・r直列）を等価な並列回路（Rp・L並列）に変換したときの、等価抵抗Rpを表す式を求める問題です。

直列R-L（r+jωL）を並列に変換するには、アドミタンスY＝1/(r+jωL)の実部（コンダクタンス）を取ります。r≪ωLのとき、Rp≒(ωL)²/rと近似できます。

出題のポイント

平成22年度 理論科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 平成22年度 A問題13

　図1は、静電容量C〔F〕のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルに内部抵抗r〔Ω〕が存在する場合は、インダクタンスL〔H〕と抵抗r〔Ω〕の直列回路として表すことができる。この直列回路は、コイルの抵抗r〔Ω〕が、誘導性リアクタンスωL〔Ω〕に比べて十分小さいものとすると、図2のように、等価抵抗Rp〔Ω〕とインダクタンスL〔H〕の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗Rp〔Ω〕の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。ただし、I_c〔A〕は電流源の電流を表す。

（1）ωL/r　（2）r/(ωL)²　（3）r²/(ωL)　（4）(ωL)²/r　（5）r(ωL)²

ポイント解説：直列r-Lを並列に変換、Rp＝(ωL)²/r

直列のr-L（インピーダンスr+jωL）を等価な並列回路に変換します。並列変換にはアドミタンスの実部（コンダクタンス）を使います。

Y＝1/(r+jωL)＝(r−jωL)/(r²+(ωL)²)。実部G＝r/(r²+(ωL)²)。r≪ωLのとき分母≒(ωL)²なのでG≒r/(ωL)²、等価抵抗Rp＝1/G＝(ωL)²/r。

問題の解説

STEP1　アドミタンスの実部を求める

$$Y=\frac{1}{r+j\omega L}=\frac{r-j\omega L}{r^{2}+(\omega L)^{2}}$$実部（コンダクタンス）G＝r/(r²+(ωL)²)。

STEP2　r≪ωLで近似する

r≪ωLよりr²+(ωL)²≒(ωL)²。よってG≒r/(ωL)²。

STEP3　等価抵抗Rpを求める

$$R_p=\frac{1}{G}=\frac{(\omega L)^{2}}{r}$$したがって(4)です。

答え：(4)（Rp＝(ωL)²/r）

まとめ

Y実部	r/(r²+(ωL)²)
近似	r≪ωL→分母(ωL)²
G	≒r/(ωL)²
Rp	(ωL)²/r …(4)

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