今回は平成22年度 理論科目 A問題13を解説します。内部抵抗rをもつコイル（L・r直列）を等価な並列回路（Rp・L並列）に変換したときの、等価抵抗Rpを表す式を求める問題です。
直列R-L（r+jωL）を並列に変換するには、アドミタンスY＝1/(r+jωL)の実部（コンダクタンス）を取ります。r≪ωLのとき、Rp≒(ωL)²/rと近似できます。
平成22年度 理論科目 A問題13：問題文と選択肢
電気技術者試験センター公表の公式問題PDF（理論 問13）と公式解答PDFを確認しながら進めます。下の問題文画像・回路図・選択肢は元のまま保持しています。
電験3種 理論科目 【電気回路（単相交流）】 平成22年度 A問題13
図1は、静電容量C〔F〕のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルに内部抵抗r〔Ω〕が存在する場合は、インダクタンスL〔H〕と抵抗r〔Ω〕の直列回路として表すことができる。この直列回路は、コイルの抵抗r〔Ω〕が、誘導性リアクタンスωL〔Ω〕に比べて十分小さいものとすると、図2のように、等価抵抗Rp〔Ω〕とインダクタンスL〔H〕の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗Rp〔Ω〕の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。ただし、Ic〔A〕は電流源の電流を表す。
（1）ωL/r （2）r/(ωL)2 （3）r2/(ωL) （4）(ωL)2/r （5）r(ωL)2
出題のポイント：アドミタンスの実部を取れば等価並列抵抗が出る
直列回路を並列回路に変換するには、アドミタンス \(\dot Y=1/\dot Z\) を計算します。その実部（コンダクタンス）の逆数が等価並列抵抗です。
厳密には \(R_p=(r^2+(\omega L)^2)/r\) ですが、\(r\ll\omega L\) という条件があるので \(r^2\) を無視できます。結果は \((\omega L)^2/r\) です。
解説：計算せずに次元と大小で絞る
この問題は選択肢の形を見るだけでほぼ決まります。まず次元（単位）で3つ消え、次に大小関係で1つに絞れます。
| 式 | 次元 | 判定 | |
| (1) | \(\omega L/r\) | 無次元 | × Ω にならない |
| (2) | \(r/(\omega L)^2\) | \(1/\Omega\) | × |
| (3) | \(r^2/(\omega L)\) | \(\Omega\) | 次元は合う |
| (4) | \((\omega L)^2/r\) | \(\Omega\) | ◎ 正解 |
| (5) | \(r(\omega L)^2\) | \(\Omega^3\) | × |
\(r\) も \(\omega L\) も単位はΩです。\(R_p\) もΩでなければならないので、(1)(2)(5)は即座に除外できます。
残る(3)と(4)は「どちらが分子か」だけの違いです。\(r\ll\omega L\) なので、\((\omega L)^2/r\) は非常に大きく、\(r^2/(\omega L)\) は非常に小さい——\(r=1\;\Omega\)、\(\omega L=100\;\Omega\) なら10 000 Ω と 0.01 Ω です。
並列に変換した抵抗は大きくなるはずです。もともと直列抵抗 \(r\) が小さい＝損失が小さいコイルなのですから、等価な並列抵抗は大きい値でなければ辻褄が合いません。
近似がどれくらい正確か
| \(r\)〔Ω〕 | \(\omega L\)〔Ω〕 | 厳密 \((r^2+(\omega L)^2)/r\) | 近似 \((\omega L)^2/r\) | 誤差 |
| 0.1 | 100 | 100 000.1 | 100 000 | 0.0001% |
| 1 | 100 | 10 001 | 10 000 | 0.01% |
| 10 | 100 | 1 010 | 1 000 | 0.99% |
\(r\) が \(\omega L\) の1/10 でも、誤差は1%未満です。実際のコイルでは \(r\) はもっと小さいので、近似は十分に正確だと言えます。
「十分小さいものとすると」という問題文の条件が、この近似を許可しています。条件がなければ厳密式で答えなければなりません——問題文の但し書きは必ず読んでください。
⚠️ よくある間違い
「直列抵抗 \(r\) を並列に移すと \(r\) のまま」と考えるのは誤りです。直列と並列では、同じ損失を表すのに必要な抵抗値がまったく違います。\(r=1\;\Omega\) の直列抵抗は、\(10\,000\;\Omega\) の並列抵抗に相当します。
深掘り①：なぜ並列に変換したいのか
コンデンサと組み合わせて並列共振回路を作るとき、すべてを並列で表したい——それがこの変換の目的です。
| 直列表現 | 並列表現 | |
| コイルの損失 | \(r\)（直列抵抗） | \(R_p\)（並列抵抗） |
| 大小 | 小さい | 大きい |
| 使いやすい場面 | 直列回路の計算 | 並列共振の計算 |
| 損失が小さいほど | \(r\) が小さい | \(R_p\) が大きい |
並列共振回路では、共振時のインピーダンスがちょうど \(R_p\) になります。理想的なLC並列なら無限大ですが、損失があるので有限値——その値が \(R_p\) です。
\(R_p\) が大きいほど共振が鋭く、良質な回路になります。\(Q=R_p/(\omega L)=\omega L/r\)——直列抵抗 \(r\) が小さいコイルほど \(Q\) が高いという関係です。
深掘り②：直列⇄並列変換の一般式
この変換は、抵抗とリアクタンスの組み合わせ一般に使えます。覚えておくと、力率改善や整合の問題でも役立ちます。
\(Q\gg1\) なら \(R_p\approx R_sQ^2\)
\(Q=X_s/R_s=\omega L/r\) とすると、\(R_p=r(1+Q^2)\approx rQ^2=(\omega L)^2/r\)——本問の結果と一致します。
\(Q\) が大きいほど \(R_p\) と \(r\) の差が開きます。\(Q=100\) なら \(R_p\) は \(r\) の1万倍——「同じ損失」を表す抵抗値が、直列か並列かでこれほど違うのです。
💡 覚え方
「直列の小さい抵抗＝並列の大きい抵抗」——どちらも同じ損失を表していると理解してください。損失が小さいほど、直列では \(r\) が小さく、並列では \(R_p\) が大きくなります。
⏱️ 本番での進め方
❶ 次元で3肢消す。\(R_p\) はΩ。\(r\) も \(\omega L\) もΩ。
❷ 大小で決める。\(r\ll\omega L\) なら \(R_p\) は大きい値。
❸ アドミタンスの実部を取るのが正攻法。共役複素数を掛ける。
❹ 問題文の但し書きを読む。「十分小さい」が近似を許可している。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
まとめ
| Y実部 | r/(r²+(ωL)²) |
| 近似 | r≪ωL→分母(ωL)² |
| G | ≒r/(ωL)² |
| Rp | (ωL)²/r …(4) |
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